黎曼－斯蒂尔杰斯积分

和黎曼积分一样，黎曼－斯蒂尔杰斯积分的定义依赖对区间分割的定义。

区间的分割

一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$ 。每个闭区间${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ 叫做一个子区间。这些子区间长度的最大值 ${\displaystyle \lambda }$  为：${\displaystyle \lambda :=\max\{\,x_{i+1}-x_{i}\mid 0\leq i\leq n-1\,\}}$ 。

定义取样分割。一个闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$  的一个取样分割是指分割 ${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}}$  再加上一组有限点，${\displaystyle \{a\leq t_{0}\leq t_{1}\leq ,\cdots ,\leq t_{n-1}\leq b\}}$ ，其中 ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$  对所有 ${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$ 。

精细化分割：设${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 以及${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 构成了闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个取样分割，${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ 和${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ 是另一个分割。如果对于任意${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ，都存在${\displaystyle r(i)}$ 使得${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$ ，并存在${\displaystyle r(i)\leq j\leq r(i+1)}$ 使得${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$ ，那么就把分割：${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ 、${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ 称作分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 的一个精细化分割。简单来说，就是说分割${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ 、${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ 是在分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 的基础上添加一些分点和标记。(即是说“设${\displaystyle P=\{a=x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}=b\}}$ 是闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个分割，若分割${\displaystyle P'}$ 是分割${\displaystyle P}$ 的一个精细化分割，则${\displaystyle P\subseteq P'}$ ，也就是说，分割${\displaystyle P}$ 是分割${\displaystyle P'}$ 的子集”)

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼－斯蒂尔杰斯和

对一个在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 有定义的实值函数 ${\displaystyle f}$ ，其对于函数 ${\displaystyle g}$  关于分割

${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}}$ 

的黎曼－斯蒂尔杰斯和，规定为下式：

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\cdot \left(g(x_{i+1})-g(x_{i})\right)}$ 

和式中的 ${\displaystyle c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}],\,0\leq i\leq n-1}$ 。

黎曼－斯蒂尔杰斯积分

当注意的是。这两个定义在黎曼－斯蒂尔杰斯积分的情况下，并不完全等价，以第一种定义可推出其存在的积分，必能以第二种定义推出其存在，但以第二种定义方式可推出其存在的积分不一定能以第一种定义的方式来计算。

第一种定义

${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$  是函数 ${\displaystyle f}$  在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$  上对函数 ${\displaystyle g}$  的黎曼－斯蒂尔杰斯积分的值，当且仅当对任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ ，使得对任意的分割 ${\displaystyle \scriptstyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}}$ ，只要这分割的子区间最大长度满足 ${\displaystyle \lambda \leq \delta }$  且对任意的 ${\displaystyle \scriptstyle c_{i}\in [x_{i+1},x_{i}],\;0\leq i\leq n-1}$ ，有：

${\displaystyle \left|S(P,f,g)-A\right|<\epsilon .\,}$ 

第二种定义

${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$  是函数 ${\displaystyle f}$  在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$  上对函数 ${\displaystyle g}$  的黎曼－斯蒂尔杰斯积分的值，当且仅当对于任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在分割 ${\displaystyle P_{\epsilon }}$ ，使得对任何比 ${\displaystyle P_{\epsilon }}$  还要“精细”的分割 ${\displaystyle \scriptstyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}}$  跟任意选取的 ${\displaystyle \scriptstyle c_{i}\in [x_{i+1},x_{i}],\;0\leq i\leq n-1}$ ，都有：

${\displaystyle \left|S(P,f,g)-A\right|<\epsilon .\,}$ 

若一个函数${\displaystyle f}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上对函数${\displaystyle g}$ 的黎曼－斯蒂尔杰斯积分存在，且值为${\displaystyle A}$ ，则可写作${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x).}$ 

若${\displaystyle \,g(x)=x\,}$ 时，${\displaystyle \,f\,}$ 在闭区间${\displaystyle \,[a,b]\,}$ 上对函数${\displaystyle \,g\,}$ 的黎曼－斯蒂尔杰斯积分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$ 

即为${\displaystyle f}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上的黎曼积分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ，

故从黎曼－斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼积分。

若${\displaystyle \,g(x)\,}$ 可微且其对${\displaystyle \,x\,}$ 微分后的函数${\displaystyle \,g'(x)\,}$ 在闭区间${\displaystyle \,[a,b]\,}$ 连续，则${\displaystyle \,f\,}$ 在闭区间${\displaystyle \,[a,b]\,}$ 上对函数${\displaystyle \,g\,}$ 的黎曼－斯蒂尔杰斯积分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$ 

与黎曼积分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx}$ 

相等。

• 黎曼积分
• 有界变差

• Mathematical Analysis second edition, Tom M. Apostol, Pearson Education Taiwan Ltd.
• Rudin, Walter, Principles of mathematical analysis Second, New York: McGraw-Hill, 1964 .