一阶偏微分方程 是只和未知数的一阶导数有关的偏微分方程 ，其型式如下
F
(
x
1
,
…
,
x
n
,
u
,
u
x
1
,
…
u
x
n
)
=
0.
{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,}
以下的应用会用到一阶偏微分方程：建构双曲型偏微分方程 的特征曲面、变分法 、一些几何问题，以及一些解有用到特征线法 的气体动力学简单模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透过建立解族的包络线来找到其他的解。
通解及全积分
一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常数的解。若一阶偏微分方程中的待定常数和自变数一样多，此解则称为全积分（complete integral）。以下有n个参数的解族
u
=
ϕ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
,
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle u=\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
若满足
det
|
ϕ
x
i
a
j
|
≠
0
{\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}
[1]
波方程的特征曲面
波方程 本身是二阶偏微分方程，而其特征曲面为满足以下方程的等值曲面
u
t
2
=
c
2
(
u
x
2
+
u
y
2
+
u
z
2
)
.
{\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}
若令
u
t
=
1
{\displaystyle u_{t}=1}
u 满足
u
x
2
+
u
y
2
+
u
z
2
=
1
c
2
.
{\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}
用方量的表示方式，令
x
→
=
(
x
,
y
,
z
)
and
p
→
=
(
u
x
,
u
y
,
u
z
)
.
{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}
解族的特征曲面可以表示为
u
(
x
→
)
=
p
→
⋅
(
x
→
−
x
0
→
)
,
{\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}
其中
|
p
→
|
=
1
c
,
and
x
0
→
is arbitrary
.
{\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}
若x 和x 0 不变，此解的包络线可以由找到半径1/c 圆球上的点，且u 值为定值的点来求得。若
p
→
{\displaystyle {\vec {p}}}
x
→
−
x
0
→
{\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}
u
(
x
→
)
=
±
1
c
|
x
→
−
x
0
→
|
.
{\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}
这个解对应一个半径会以速度c 膨胀或是收缩的圆球。这也是在时空下的光锥。
此方程的初值问题会包括给定t =0 时，u =0 的等值曲面S 。这可以由找到所有中心在S 上，半径以速度c 膨胀或是收缩的圆球包络面来求得。包络面可以由下式求得
1
c
|
x
→
−
x
0
→
|
is stationary for
x
0
→
∈
S
.
{\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}
若
|
x
→
−
x
0
→
|
{\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}
S 垂直，上式就会成立，因此包络线对应和S 垂直，速度为c 的运动，这也就是Huygens波前建立法：S 上的每一点在t =0时发射一个球状波，较晚时间t 的波前就是这些球状波的包络线。S 的法向量即为光线。
参考资料
^ P.R. Garabedian, "Partial differential equations" , Wiley (1964)
外部链接 相关书目
R. Courant]and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol II , Wiley (Interscience), New York, 1962.
L.C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
Sarra, Scott The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws , Journal of Online Mathematics and its Applications, 2003. 