七阶三角形镶嵌
在几何学中，七阶三角形镶嵌（英语：Order-7 triangular tiling）是一种由正三角形拼合，并且以七个三角形为单位，重复排列组合，并让图形完全拼合，而且没有空隙或重叠的几何构造。
 庞加莱圆盘模型 | |||
| 类别 | 双曲正镶嵌 | ||
|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 正七边形镶嵌 | ||
| 识别 | |||
| 鲍尔斯缩写 | hetrat | ||
| 数学表示法 | |||
| 考克斯特符号 |     | ||
| 施莱夫利符号 | {3,7} | ||
| 威佐夫符号 | 7 | 3 2 | ||
| 组成与布局 | |||
| 顶点图 | 37 | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | [7,3], (*732) | ||
| 特性 | |||
| 点可递、 边可递、 面可递 | |||
| 图像 | |||
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七阶三角形镶嵌每个顶点有七个正三角形，因此每个顶点的角度为度，超过360度，因此无法在平面构造，是一种双曲正镶嵌，在施莱夫利符号中用{3,7}来表示。
赫尔维茨曲面
七阶三角形镶嵌的对称群是（2,3,7）三角群，且其根本域为（2,3,7）施瓦茨三角形。这是最小的双曲施瓦茨三角形，因此，由赫尔维茨的同构定理的证明，该镶嵌完全密铺整个赫尔维茨曲面（黎曼曲面与最大对称群），给出一个三角对称群等于其构群为黎曼曲面。
其中最小的是克莱因商（Klein quartic），最对称的3亏格曲面，由56个三角形镶嵌在一起，形成24个顶点，带有168阶的单群对称群，即所谓的PSL(2,7)。所得到的曲面可以反过来多面体化构造进欧几里得空间而得到小立方立方八面体（Small cubicuboctahedron）[1]。
其对偶七边形镶嵌具有相同的对称群，因而产生七边形镶嵌赫尔维曲面。
| 七阶三角形镶嵌的对称群是(2,3,7)根本域为(2,3,7)施瓦茨三角形的三角群。 |
小立方立方八面体是一个进入克莱因商的多面体[1]，就好比赫尔维茨曲面是该镶嵌的商。 |
相关多面体及镶嵌
七阶三角形镶嵌和两种星形镶嵌拥有相同的顶点布局，七阶七角星镶嵌{7/2,7}和二分之七阶七边形镶嵌{7,7/2}。
七阶三角形镶嵌在拓扑上与一系列用施莱夫利符号{3,n}表示的（广义）多面体一直延伸到双曲镶嵌拥有相似的结构：
| 多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {3,2} |
{3,3} |
{3,4} |
{3,5} |
{3,6} |
{3,7} |
{3,8} |
{3,9} |
... | {3,∞) |
从威佐夫结构中可得到8种不同的半正镶嵌
| 对称群：[7,3], (*732) | [7,3]+, (732) | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {7,3} | t{7,3} | r{7,3} | 2t{7,3}=t{3,7} | 2r{7,3}={3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | |||
| 半正对偶 | ||||||||||
| V73 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V37 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 | |||
参见
参考文献
- ^ 1.0 1.1 （Richter） Note each face in the polyhedron consist of multiple faces in the tiling – two triangular faces constitute a square face and so forth, as per this explanatory image （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M24, [2010-04-15], （原始内容存档于2010-01-16）
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（页面存档备份，存于互联网档案馆）
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（页面存档备份，存于互联网档案馆）