容度

一如测度之于测度论，容度在某种意义下描述一个集合的大小。容度出现在许多数学领域中，特别是逼近理论或复分析。它的起源则与静电学中电容的概念有关。

对于 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)}$  上一个有限且带紧支集的博雷尔测度 μ ，可以抽象地定义相应的位势函数：

${\displaystyle p_{\mu }(z)=\int {\frac {\mathrm {d} \mu (w)}{|z-w|^{n-2}}}}$ 

这里的 μ 在物理上可以想像成一个 ${\displaystyle n}$  维世界里的电荷分布——至少在 ${\displaystyle n=3}$  时吻合静电学。μ 的能量则抽象地定义为位势的总和：

${\displaystyle I(\mu )=\iint |z-w|^{n-2}\;\mathrm {d} \mu (w)\;\mathrm {d} \mu (z)}$ 

当 n=2 时，两个定义中的 ${\displaystyle |z-w|^{n-2}}$  都改取 ${\displaystyle \log |z-w|}$ 

设 ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$  为紧集，其容度定义作

${\displaystyle C(K):={\dfrac {1}{\inf _{\mu }I(\mu )}}}$ 

其中的下确界取遍支集在 ${\displaystyle K}$  上的所有博雷尔几率测度 μ。

在一个黎曼曲面 M 上给定一点 ${\displaystyle p}$ 。若存在一个以 ${\displaystyle p}$  为极点的格林函数，则它在 ${\displaystyle p}$  点的一个够小开邻域 Ω 上有唯一表法

${\displaystyle g_{p}(x)=\log |x-p|+h_{p}(x)}$ 

其中 ${\displaystyle h_{p}}$  是 ${\displaystyle \Omega -\{p\}}$  上的调和函数。

此时 ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow p}h_{p}(x)}$  决定 ${\displaystyle M-\Omega }$  的容度。这些量能用来分类黎曼曲面。根据 ${\displaystyle M}$  的曲率，可以用双曲距离或球面距离取代上述定义中的欧氏距离 ${\displaystyle d(z,w)=|z-w|}$ ，由此可得到双曲容量与球面容度（或称椭圆容度）。

• E.D. Solomentsev, Capacity, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• E.D. Solomentsev, Robin constant, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.