直接推理

直言命题的四种类型的谓词逻辑表示：

• 全称肯定命题（A）：${\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow P(x))}$ ，所有S都是P
• 全称否定命题（E）：${\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}$ ，所有S都不是P
• 特称肯定命题（I）：${\displaystyle \exists x(S(x)\land P(x))}$ ，有些S是P
• 特称否定命题（O）：${\displaystyle \exists x(S(x)\land \lnot P(x))}$ ，有些S不是P

依据全称量词和存在量词之间的对偶关系（对立四边形中矛盾关系）可以直接得出：

• 全称肯定命题（A）：${\displaystyle \lnot \exists x(S(x)\land \lnot P(x))}$ ，没有S不是P
• 全称否定命题（E）：${\displaystyle \lnot \exists x(S(x)\land P(x))}$ ，没有S是P
• 特称肯定命题（I）：${\displaystyle \lnot \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}$ ，并非所有S都不是P
• 特称否定命题（O）：${\displaystyle \lnot \forall x(S(x)\rightarrow P(x))}$ ，并非所有S都是P

上面加粗表述是亚里士多德《解释篇》中采用的形式。

假定了主词对应的范畴确有个体存在之后可得出蕴涵关系（又译差等关系）：

• 全称肯定命题（A）蕴涵了特称肯定命题（I）：${\displaystyle \exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\Rightarrow \exists x(S(x)\land P(x))}$ 
• 全称否定命题（E）蕴涵了特称否定命题（O）：${\displaystyle \exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\Rightarrow \exists x(S(x)\land \lnot P(x))}$ 

在蕴涵关系和对偶关系之上可确立全称命题间不同真关系（又译反对关系）：

• 全称肯定命题（A）为真则全称否定命题（E）为假：${\displaystyle \exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\Rightarrow \lnot \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}$ 
• 全称否定命题（E）为真则全称肯定命题（A）为假：${\displaystyle \exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\Rightarrow \lnot \forall x(S(x)\rightarrow P(x))}$ 

和特称命题之间的不同假关系（又译下反对关系）：

• 特称肯定命题（I）为假则特称否定命题（O）为真：${\displaystyle \exists xS(x)\land \lnot \exists x(S(x)\land P(x))\Rightarrow \exists x(S(x)\land \lnot P(x))}$ 
• 特称否定命题（O）为假则特称肯定命题（I）为真：${\displaystyle \exists xS(x)\land \lnot \exists x(S(x)\land \lnot P(x))\Rightarrow \exists x(S(x)\land P(x))}$ 

换位法对调主词和谓词的位置（采用谓词逻辑就没有了传统的主词谓词差别）：

• 全称肯定命题（A）蕴涵特称肯定命题（I）：${\displaystyle \exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\Rightarrow \exists x(P(x)\land S(x))}$ ，有些P是S(假定了某个S的存在)
• 全称否定命题（E）：${\displaystyle \forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}$ ，所有P都不是S
• 特称肯定命题（I）：${\displaystyle \exists x(P(x)\land S(x))}$ ，有些P是S

换质法否定谓词本身而改变命题的性质，这里有${\displaystyle A^{CC}=A\,}$ ：

• 全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）：${\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P^{C}(x))}$ ，所有S都不是非P
• 全称否定命题（E）变为全称肯定命题（A）：${\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow P^{C}(x))}$ ，所有S都是非P
• 特称肯定命题（I）变为特称否定命题（O）：${\displaystyle \exists x(S(x)\land \lnot P^{C}(x))}$ ，有些S不是非P
• 特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）：${\displaystyle \exists x(S(x)\land P^{C}(x))}$ ，有些S是非P

对置法是换质后换位：

• 全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）：${\displaystyle \forall x(P^{C}(x)\rightarrow \lnot S(x))}$ ，所有非P都不是S
• 全称否定命题（E）蕴涵特称肯定命题（I）：${\displaystyle \exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P^{C}(x))\Rightarrow \exists x(P^{C}(x)\land S(x))}$ ，有些非P是S(假定了某个S的存在)
• 特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）：${\displaystyle \exists x(P^{C}(x)\land S(x))}$ ，有些非P是S

特称肯定命题（I）变为特称否定命题（O）后不能换位。

对置后再换质叫反对置法（Obverted Contraposition）：

• 全称肯定命题（A）变为全称肯定命题（A）：${\displaystyle \forall x(P^{C}(x)\rightarrow S^{C}(x))}$ ，所有非P都是非S
• 全称否定命题（E）蕴涵特称否定命题（O）：${\displaystyle \exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P^{C}(x))\Rightarrow \exists x(P^{C}(x)\land \lnot S^{C}(x))}$ ，有些非P不是非S(假定了某个S的存在)
• 特称否定命题（O）变为特称否定命题（O）：${\displaystyle \exists x(P^{C}(x)\land \lnot S^{C}(x))}$ ，有些非P不是非S

• 集合代数
• 直言三段论
• 传统逻辑
• 解释篇