Davis-Kahan定理

两个线性空间的夹角

考虑两个单位列正交矩阵 ${\displaystyle V,{\hat {V}}\in \mathbb {R} ^{n\times d}}$  （“单位列正交”意为：其满足 ${\displaystyle V^{T}V={\hat {V}}^{T}{\hat {V}}=I_{d}}$ ） 之列向量分别张成的线性子空间，那么这两个子空间的张角，是由一个矩阵所表示的（显然这是如下熟知的特殊情形之概念上的拓展： ${\displaystyle d=1}$  时，通常用一个数值表示两个向量之间的张角），式子如下：

${\displaystyle \Theta (V,{\hat {V}})=\mathrm {Diagonal} (\arccos \langle V_{\cdot 1},{\hat {V}}_{\cdot 1}\rangle ,\ldots ,\arccos \langle V_{\cdot d},{\hat {V}}_{\cdot d}\rangle )}$ 

上式中，“${\displaystyle \Theta }$ ”是一个数学运算，表示线性空间之间的张角。

定理的经典版本

有了线性空间之间张角的定义，便可以开始陈述定理内容。设 ${\displaystyle \Sigma ,{\hat {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{p\times p}}$ 是两个对称的随机矩阵，其特征值记为 ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{p}}$  和 ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{1}\geq \cdots \geq {\hat {\lambda }}_{p}}$ 。对任何 ${\displaystyle (r,s):1\leq r\leq s\leq p}$  ，考虑第 ${\displaystyle \{\lambda _{r},\ldots ,\lambda _{s}\}}$  这总共 ${\displaystyle s-r+1}$  个特征值之对应的特征向量所张成的线性子空间，将它记为 ${\displaystyle V}$ ，类似地定义 ${\displaystyle {\hat {V}}}$ 。

下面定义定理中最重要的量，即特征裂隙 ${\displaystyle \delta }$ ：

${\displaystyle \delta =\inf \left\{|{\hat {\lambda }}-\lambda |:\lambda \in [\lambda _{s},\lambda _{r}],{\hat {\lambda }}\in (-\infty ,{\hat {\lambda }}_{s+1}]\cup [{\hat {\lambda }}_{r-1},\infty )\right\}}$ 

定理的结论是，如果 ${\displaystyle \delta >0}$  ，那么有如下不等式：

${\displaystyle \|\sin \Theta ({\hat {V}},V)\|_{F}\leq {\frac {\|{\hat {\Sigma }}-\Sigma \|_{F}}{\delta }}}$ 

其中 ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$  表示Frobenius范数，即将矩阵的所有元素平方求和后，再开根号。^[1]

定理的Yu-Wang-Samworth变体版本

Davis-Kahan定理的经典版本有一些可改进之处，主要在于正特征裂隙假设，是一个同时牵涉两个矩阵的特征值 ${\displaystyle \lambda }$  和 ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$  的条件，这对其应用的方便性造成负面影响。余怡、王腾耀和Richard Samworth于2014年发现如下变体^[2]，其最大特色是其只需其中一个矩阵满足正特征裂隙条件。

沿用上面经典版本定理的记号，另记 ${\displaystyle d=s-r+1}$  ，并用如下的特征裂隙条件代替原定理中的 ${\displaystyle \delta >0}$ ：

${\displaystyle \min(\lambda _{r-1}-\lambda _{r},\lambda _{s}-\lambda _{s+1})>0}$ 

Yu-Wang-Samworth定理的结论，按经典版的 ${\displaystyle \sin \Theta }$  语言，陈述如下：

${\displaystyle \|\sin \Theta ({\hat {V}},V)\|_{F}\leq {\frac {2\min \left(d^{1/2}\|{\hat {\Sigma }}-\Sigma \|,\|{\hat {\Sigma }}-\Sigma \|_{F}\right)}{\min(\lambda _{r-1}-\lambda _{r},\lambda _{s}-\lambda _{s+1})}}}$ 

其中，${\displaystyle \|\cdot \|}$  表示矩阵的谱范数，即其最大奇异值。

进一步，按矩阵论语言，有如下更显式的结论：存在一个正交矩阵 ${\displaystyle {\hat {O}}\in \mathbb {R} ^{d\times d}}$  （“正交”是指其满足 ${\displaystyle O^{T}O=I_{d}}$ ），使得：

${\displaystyle \|{\hat {V}}{\hat {O}}-V\|_{F}\leq {\frac {2^{3/2}\min \left(d^{1/2}\|{\hat {\Sigma }}-\Sigma \|,\|{\hat {\Sigma }}-\Sigma \|_{F}\right)}{\min(\lambda _{r-1}-\lambda _{r},\lambda _{s}-\lambda _{s+1})}}}$ 

虽然Davis-Kahan定理大多数的应用是套用到随机矩阵上，但要注意定理本身并不局限于随机矩阵，无论定理内容中出现的矩阵是常数矩阵还是随机矩阵（抑或是一个确定一个随机），只要假设条件满足，定理的结论都成立（而非仅以大概率成立或渐近成立）。

Davis-Kahan定理拥有广泛的应用，是谱聚类方法的理论基础，在统计学习和统计网络分析的很多涉及聚类问题的研究中，占据重要地位。^[3][4]

特征裂隙