反证法

反证法(英语:proof by contradiction,又称背理法)是一种论证方式,他首先假设某命题成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。

反证法与归谬法相似,但归谬法不仅包括推理出矛盾结果,也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理据

给出命题   和命题  (非  ),根据排中律,两者之中起码有一个是真(更强的说法为,除了真和假之外并无其他的情况),所以如果其中一个是假的,另一个就必然是真。给出命题   和命题  (非  ),根据无矛盾律,两者同时为真的情况为假。给出命题   ,根据否定后件律,如果若   成立时出现  ,则   为假时   即为假。反证法在要证明   时,透过显示出若   成立时出现矛盾(  ),即   为假,从而证明   为真。

例子

 无理数的证明(古希腊人)

证明:假设 有理数,那么可以写成   的形式,其中    皆为正整数且    互质。那么有

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可得  是偶数。而只有偶数的平方才是偶数,所以   也是偶数。因此可设  ,从而  ,代入上式,得: 。所以  也是偶数,故可得   也是偶数。这样    都是偶数,不互质,这与假设    互质矛盾,假设不成立。因此 为无理数。

其他可用反证法证明的例子

数学上有许多的定理可用反证法来证明,以下是一小部分的例子:

  1. 证明有无限多个质数。
  2. 任意6人当中,求证或者有3人两两相识,或者有3人互不相识。
  3. 现有90张纸,每张纸都写有一个非负整数,已知这90个数之和小于1980,证明至少有三张数目相同的纸。
  4. 集合   没有最小值。
  5.   是大于1的整数,若所有小于或等于 的质数都不能整除  ,则   是质数。
  6. 已知三角形ABC是锐角三角形,且 。求证: 
  7. 已知    为正实数,求证: 
  8. 已知      是实数,且 ,求证: 
  9. 一个群若同时是交换群单群,则该群是循环群
  10. 若一个循环群是单群,则该群的阶为质数
  11. 若一个循环群的阶为质数,则该群为单群
  12. 鸽笼原理

引文

  • 英国数学家高德菲·哈罗德·哈代在他的文章《一个数学家的辩白》描述:“欧几里得最喜欢用的反证法,是数学家最精良的武器。它比起棋手所用的任何战术还要好:棋手可能需要牺牲一只兵甚至更多,但数学家却是牺牲整个棋局来获得胜利。”

相关条目

进一步阅读

  • J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6