埃伦费斯特定理

假设，一个物理系统的量子态为 ${\displaystyle \Phi (x,\ t)}$  ，则算符 ${\displaystyle A}$  的期望值对于时间的导数为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}}$ 

薛定谔方程表明哈密顿算符 ${\displaystyle H}$  与时间 ${\displaystyle t}$  的关系为

${\displaystyle H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}}$  。

其共轭复数为

${\displaystyle (H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}}$  。

因为哈密顿算符是厄米算符，${\displaystyle H^{*}=H}$  。所以，

${\displaystyle (H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H}$  。

将这三个方程代入 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle }$  的方程，则可得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$  。

所以，埃伦费斯特定理成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$  。

使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。

从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。

守恒的哈密顿量

考虑哈密顿算符 ${\displaystyle H}$  ：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle }$  。

假若，哈密顿量显性地不含时间，${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0}$  ，则

${\displaystyle \langle H\rangle =H_{0}}$  ，

哈密顿量是个常数${\displaystyle H_{0}}$  。

位置的期望值对于时间的导数

试想一个质量为 ${\displaystyle m}$  的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是

${\displaystyle H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)}$  ;

其中，${\displaystyle x}$  为位置，${\displaystyle p}$  是动量，${\displaystyle V}$  是位势。

应用埃伦费斯特定理，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle }$ 。

由于 ${\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p}$  ，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle }$ 。

这样，可以得到动量 ${\displaystyle p}$  的期望值。

动量的期望值对于时间的导数

应用埃伦费斯特定理，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle }$  。

由于 ${\displaystyle p}$  与自己互相交换，所以，${\displaystyle [p,\ p^{2}]=0}$  。又在坐标空间里，动量算符 ${\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$  不含时间：${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0}$  。所以，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle }$  。

将泊松括号展开，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx}$  。

使用乘法定则，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle }$  。

在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 ${\displaystyle F}$  的期望值。

取经典极限^[2]，${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}$  ，则可得到一组完全的量子运动方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle }$  ，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}$  。

这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v}$  ，

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$  。

取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记 ${\displaystyle V\,'(x)}$  为 ${\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$  。设定 ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{0}}$  。泰勒展开 ${\displaystyle V\,'(x)}$  于 ${\displaystyle x_{0}}$  ：

${\displaystyle V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots }$  。

由于 ${\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0}$  ，${\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}}$  ，

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})}$  。

这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：

1. 一个是量子态对于位置的不可确定性。
2. 另一个则是位势随着位置而变化的快缓。

• 维里定理