高度 (环论)

在交换代数中，一个环 ${\displaystyle R}$ 的理想 ${\displaystyle I}$ 的高度是包含于 ${\displaystyle I}$ 的素理想链长度之上确界。

素理想链及其长度的定义如下：设交换环 ${\displaystyle R}$ 中有 ${\displaystyle n+1}$ 个素理想 ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}}$，使得

${\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}$

则称之为长度为 ${\displaystyle n}$ 的素理想链。若 ${\displaystyle P_{n}\subset I}$，则称此链包含于 ${\displaystyle I}$。一个无法插入新的素理想的链被称作极大的

在代数几何中，这可以诠释为闭子概形 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R/I)\subset \mathrm {Spec} (R)}$ 的余维度。

在诺特环的情形，Krull 高度定理断言：由 ${\displaystyle n}${\displaystyle n} 个元素生成的理想其高度必 ${\displaystyle \leq n}$。