弗拉蒂尼引理在有限群论，弗拉蒂尼引理指： 若有限群 G {\displaystyle G} 有正规子群 H {\displaystyle H} ， H {\displaystyle H} 有西罗子群 P {\displaystyle P} ，则 G = N G ( P ) H {\displaystyle G=N_{G}(P)H} ，其中 N G ( P ) {\displaystyle N_{G}(P)} 是 P {\displaystyle P} 的正规化子。它以Giovanni Frattini命名。他以此引理证明一个与弗拉蒂尼子群有关的定理。 证明 因为 H ◃ G , g P g − 1 ≤ H ∀ g ∈ G {\displaystyle H\triangleleft G,gPg^{-1}\leq H\forall g\in G} 。因为 | g − 1 P g | = | P | {\displaystyle |g^{-1}Pg|=|P|} ，所以可以根据西罗定理，在 H {\displaystyle H} 内， g − 1 P g {\displaystyle g^{-1}Pg} 与 P {\displaystyle P} 共轭 ，故对于任意的 g ∈ G {\displaystyle g\in G} ，存在 h ∈ H {\displaystyle h\in H} 使得 P = h − 1 ( g − 1 P g ) h = ( g h ) − 1 P ( g h ) {\displaystyle P=h^{-1}(g^{-1}Pg)h=(gh)^{-1}P(gh)} 。因此 g h ∈ N G ( P ) , g ∈ N G ( P ) h − 1 ∈ N G ( P ) H ∀ g ∈ G {\displaystyle gh\in N_{G}(P),g\in N_{G}(P)h^{-1}\in N_{G}(P)H\forall g\in G} 。 应用 它应用于证明以下陈述：所有有限幂零群都是的西罗子群的直积。 若 P {\displaystyle P} 是西罗子群、 G {\displaystyle G} 是有限群， N G ( N G ( P ) ) = N G ( P ) {\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))=N_{G}(P)} 。 更一般的结果：若 P {\displaystyle P} 是西罗子群、 G {\displaystyle G} 是有限群，且 N G ( P ) ≤ M ≤ G {\displaystyle N_{G}(P)\leq M\leq G} ，则 M = N G ( M ) {\displaystyle M=N_{G}(M)} 。
