半单模

以下陈述彼此等价：

• ${\displaystyle M}$  是单模的和。
• ${\displaystyle M}$  是其单子模的和。
• 对每个子模 ${\displaystyle N\subset M}$ ，存在子模 ${\displaystyle N'\subset M}$  使得 ${\displaystyle M=N\oplus N'}$ 。

• 若 ${\displaystyle M}$  是半单模，则其子模与商模亦然。
• 若 ${\displaystyle M_{i}}$  是半单模，则 ${\displaystyle \bigoplus _{i}M_{i}}$  亦然。

借由环的乘法运算，每个环 ${\displaystyle A}$  都可视为左（或右） ${\displaystyle A}$ -模。若 ${\displaystyle A}$  是半单 ${\displaystyle A}$ -模，则称 ${\displaystyle A}$  为半单环。可以证明：环 ${\displaystyle A}$  是半单左模当且仅当它是半单右模。半单环必然兼为诺特环与阿廷环。

半单环的角色之一，在于半单环 ${\displaystyle A}$  上的模都是半单模，而且任何单左模都可嵌入 ${\displaystyle A}$  中，成为其极小左理想。这遂大大便利了对 ${\displaystyle A}$ -模结构的研究。

对于非交换环，单环未必是半单环，尽管术语上引人如此联想。

• 若 ${\displaystyle k}$  为域、${\displaystyle G}$  为 ${\displaystyle n}$  阶有限群，则群代数 ${\displaystyle k[G]}$  半单的充要条件是 ${\displaystyle k}$  的特征不整除 ${\displaystyle n}$ 。此结果是有限群表示理论的基石。
• Artin-Wedderburn 定理给出了半单环的结构：一个环 ${\displaystyle A}$  半单当且仅当它同构于 ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times \cdots M_{n_{r}}(D_{r})}$ ，其中每个 ${\displaystyle D_{i}}$  皆为除环、${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$  表示 ${\displaystyle D_{i}}$  上的 ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$  矩阵代数。
• 设 ${\displaystyle V}$  为域 ${\displaystyle k}$  上之有限维向量空间，${\displaystyle A\in \mathrm {End} (V)}$ 。则 ${\displaystyle V}$  是多项式环 ${\displaystyle k[X]}$  上的左模，结构由 ${\displaystyle f(X)\cdot v:=f(A)v}$  给出。此时 ${\displaystyle V}$  半单的充要条件是 ${\displaystyle A}$  在代数闭包 ${\displaystyle {\bar {k}}}$  上可对角化。

• N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
• T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.