八次方程

八次方程[1]是可以用下式表示的方程

八次函数的图,有8个实数(穿过X轴)和7个临界点。一般来说,取决于局部极值的数量和垂直位置,实数根的数量可以是8,6,4,2或0。复数根的数量等于8减去实数根的数量 。

其中a ≠ 0

八次函数是可以用下式表示的函数

换句话说,八次函数也就是阶数为8次的多项式,若a = 0,则多项式最多只为是七次函数。

若将令八次函数f(x) = 0,即可得到八次方程。

八次方程的系数a, b, c, d, e, f, g, h, k可以是整数有理数复数或是任何一种的元素。

由于一个八次函数是由偶数多项式定义,当变元往正值或负值无穷时,它拥有一样的无穷的极限。如果首项系数a是正值,那么函数在两边增加到正无穷大;因此该函数具有全域极小值。同样地,如果a是负值,八次函数减少到负无穷大和具有全域极大值。八次函数的导数是七次函数。

八次方程求根

透过阿贝尔-鲁菲尼定理,就其参数而言没有一般的代数式能解八次方程。然而,一些八次方的子类(sub-classes)有这样的公式。

普通的,具有正值k的形式的八次方

 

具有解决方案

 

其中 是在复平面中第i个1的8次方根

可以通过因式分解或在变量x4

 

应用二次方程来求解形式的八次方。

可以使用变量x2中的四次方程

 

来求解形式的八次方。

应用

在某些情况下(如通过垂直线划分成四个相等面积的区域),一个三角形的垂直线的四分之一部分是一个八次方程的解。[2]

参见

  • 三次方程式
  • 四次方程式
  • 五次方程式

参考资料

  1. ^ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171页面存档备份,存于互联网档案馆))
  2. ^ http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201802.pdf页面存档备份,存于互联网档案馆) Carl Eberhart, “Revisiting the quadrisection problem of Jacob Bernoulli”, Forum Geometricorum 18, 2018, pp. 7–16 (particularly pp. 14–15).