斐惹尔斯函数

斐惹尔斯函数（Ferrers Functions）是连带勒让德方程的实数解，分为第一类斐惹尔斯函数和第二类斐惹尔斯函数。分别定义如下^[1]

Ferrers Function First Kind P(x)

Ferrers Function Second Kind Q(x)

第一类斐惹尔斯函数

$P_{v}^{\mu }(x)=({\frac {1+x}{1-x}})^{\mu /2}*{\frac {F(v+1,-v;1-\mu ;1/2-x/2)}{\Gamma (1-\mu )}}$

第二类斐惹尔斯函数

$Q_{v}^{\mu }(x)=(cos(\mu *\pi )*({\frac {1+x}{1-x}})^{\mu /2}{\frac {)F(v+1,-v;1-\mu ;1/2-2/x)}{\Gamma (1-\mu }}$

与其他特殊函数的关系

$P_{v}^{\mu }(x)=\left(-{\frac {1+x}{-1+x}}\right)^{1/2\,\mu }{\it {HeunC}}\left(0,-\mu ,2\,v+1,0,v+1/2+{v}^{2},{\frac {-1+x}{1+x}}\right)\left(\left(1/2+1/2\,x\right)^{v+1}\right)^{-1}\left(\Gamma \left(1-\mu \right)\right)^{-1}$

参考文献

^ Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, p352-356,Cambridge University Press 2010

[1] Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, p352-356,Cambridge University Press 2010

[1]