几何变换

几何变换(geometric transformation)是指从具有几何结构之集合至其自身或其他此类集合的一种对射。具体来说,“几何变换是一个函数,其定义域与值域为点集合。几何变换最常见的定义域与值域为同时为R2,或同时为R3。其他的几何变换则要求须为一对一函数,使之有反函数[1]。”可透过研究这些变换的方法来研究几何[2]

几何变换可以其操作集合的维度来分类(因此可分类出平面变换与空间变换等)。几何变换亦可依据其保留其性质来分类:

以上每种变换均包含前一种变换[4]

  • 反演在平面上保留所有线及圆所组成的集合(但可能替换线与圆),而莫比乌斯变换则保留三维空间内的所有平面与球。

法国地图为例:

  • 微分同胚为一阶仿射的变换;前面所有变换都是微分同胚的特例[5]
  • 共形变换保留角度在一阶的相似。
  • 保积变换保留在平面上的面积,或在三维空间上的容量[6]。该变换为行列式为1的一阶仿射变换。

相同类型的变换可能是其他变换群的子群。

另见

参考资料

  1. ^ Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto – Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.
  2. ^ Venema, Gerard A., Foundations of Geometry, Pearson Prentice Hall: 285, 2006, ISBN 9780131437005 
  3. ^ 3.0 3.1 几何变换,第131页,载于Google图书
  4. ^ 4.0 4.1 Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – 几何变换,第182页,载于Google图书
  5. ^ stevecheng. first fundamental form (PDF). planetmath.org. 2013-03-13 [2014-10-01]. (原始内容存档 (PDF)于2014-07-14). 
  6. ^ 几何变换,第191页,载于Google图书 Bruce E. Meserve – Fundamental Concepts of Geometry, page 191.]