常用对数

常用对数的一般表示方法为${\displaystyle \log x}${\displaystyle \log x}  ，或简写成${\displaystyle \lg x}$ ，正式写法是${\displaystyle \log _{10}x}$ ；而常用对数逆函数为${\displaystyle 10^{x}}$ 。

常用对数多数应用于表达声音强度（分贝）、酸碱值、里氏震级、星等等数值相差的层次很大的比较，因为它可以“令十变成一，令一亿变成八”（数算整数位以上的零的数目）。最常见的例子之一是化学中使用的氢离子指数。这被定义如下。

${\displaystyle \mathrm {pH} =-\log _{10}{\frac {[\mathrm {H} ^{+}]}{\mathrm {mol/L} }}.}$ 

在20世纪70年代初之前，还没有手持的电子计算器可用，能进行倍增的机械计算器体积庞大，价格昂贵并不广泛使用。相反，当计算所需的精度比使用计算尺能达到的要求更高时，科学，工程和导航中使用的是底数为10的对数表格。对数的使用避免了繁琐且容易出错的笔算乘法和分割。由于对数非常有用，在许多教科书的附录中都有底为10的对数表格。数学和导航手册也包括三角函数的对数表。

底为 10的对数一个重要特性使得它们在计算中非常有用，因为大于 1 的对数相差 10倍的幂，都具有相同的小数部分。小数部分被称为尾数。因此表格只需显示小数部分。常用对数表通常列出范围内每个数字的尾数，小数点后 4位或 5位，例如 1000 到 9999。这样的范围将涵盖尾数的所有可能值。

称为特征的整数部分可以通过简单地计算小数点必须移动多少个位置来计算，以便它仅在第一个有效位的右侧。例如，120的对数由以下计算给出：

${\displaystyle \log _{10}120=\log _{10}(10^{2}\times 1.2)=2+\log _{10}1.2\approx 2+0.07918.}$ 

最后一个数字（0.07918） - 小数部分或120的常用对数的尾数 - 可以在下表中找到。120中小数点的位置告诉我们120的常用对数的整数部分，特征是2。

大于 0 且小于 1 的数字具有负对数。例如，

${\displaystyle \log _{10}0.012=\log _{10}(10^{-2}\times 1.2)=-2+\log _{10}1.2\approx -2+0.07918=-1.92082.}$ 

为了避免需要单独的表格将正负对数转换回原始数字，使用了一个小节符号：

${\displaystyle \log _{10}0.012\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918.}$ 

超过特征的横线表明其为负值，而尾数仍为正值。朗读时，这个符号 ${\displaystyle {\bar {n}}}$ 读作“bar n”，所以 ${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$  被读作“bar 2 point 07918 ...”。

以下示例使用小节符号来计算 0.012×0.85 = 0.0102：

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}0.012\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}0.85&=\log _{10}(10^{-1}\times 8.5)=-1+\log _{10}8.5&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\;,\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}0.012+\log _{10}0.85&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}(10^{-2})+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}$ 

下表显示了如何将相同的尾数，用于不同于 10次方的数字范围：

请注意，尾数对于所有 5×10ⁱ都是通用的。这适用于任何正实数 ${\displaystyle x}$ 因为

${\displaystyle \log _{10}(x\times 10^{i})=\log _{10}(x)+\log _{10}(10^{i})=\log _{10}(x)+i}$ .

这允许一个对数表包含每个尾数只有一个条目。在 5×10ⁱ的例子中，一旦以 5（或 0.5或 500等）索引，将列出 0.698 970（004 336 018 ...）。

因为以 10 为底的对数对计算最常用，所以工程师通常简单地写成“ lg( x ) ”另一方面，数学家在表示自然对数的log e ( x )时，会写成“ ln( x ) ” 。今天，这两种符号都被广泛使用。

由于手持式电子计算器是由工程师而非数学家设计的，因此它们遵循工程师的符号已成为惯例。所以记法“ ln( x )”依靠电子计算器的发明而进一步普及。

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