庞加莱度量

复平面上的度量可写成一般形式

${\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}$ 

这里 λ 是 z 与 ${\displaystyle {\overline {z}}}$  的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

${\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.}$ 

复平面上子集 M 之面积是

${\displaystyle {\mbox{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},}$ 

这里 ${\displaystyle \wedge }$  是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 ${\displaystyle \lambda ^{4}}$ ，故而行列式的平方根是 ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ 。复平面上的欧几里得体积形式为 ${\displaystyle dx\wedge dy}$ ，从而我们有

${\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.}$ 

函数 ${\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})}$  称为度量的势能（potential of the metric），如果

${\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}$ 

拉普拉斯–贝尔特拉米算子为

${\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}$ 

度量的高斯曲率由

${\displaystyle K=-\Delta \log \lambda ,}$ 

给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 ${\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}$  而 T 是带有度量 ${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}}$  的黎曼曲面，则映射

${\displaystyle f:S\to T\,}$ 

以及 ${\displaystyle f=w(z)}$  是等距当且仅当它是共形的以及

${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}$ 

在这里，映射为共形的也就是条件

${\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}$ 

即

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}$ 

庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},}$ 

这里我们记 ${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$ 。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是，如果我们记

${\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},}$ 

对 ${\displaystyle ad-bc=1}$ ，则我们可算得

${\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},}$ 

与

${\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},}$ 

无穷小变换为

${\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},}$ 

从而

${\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.}$ 

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。

不变体积元素为

${\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}$ 

对 ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$  度量为

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}},}$ 

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}.}$ 

度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty }$  上任意四点 ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$  与${\displaystyle z_{4}}$ ，交比定义为

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.}$ 

那么度量用交比表示为

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).}$ 

这里 ${\displaystyle z_{1}^{\times }}$  与 ${\displaystyle z_{2}^{\times }}$  是端点，位于实数轴上，测地线连接 ${\displaystyle z_{1}}$  与 ${\displaystyle z_{2}}$ 。这些点是有顺序的故 ${\displaystyle z_{1}}$  位于 ${\displaystyle z_{1}^{\times }}$  与 ${\displaystyle z_{2}}$  之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。

上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换

${\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}},}$ 

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中，常数 z₀ 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 ${\displaystyle \Im z=0}$  映为单位圆盘的边界 ${\displaystyle |w|=1}$ 。实常数 ${\displaystyle \phi }$  将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

${\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}$ 

将 i 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 ${\displaystyle U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}\leq 1\}}$  上为

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$ 

体积形式为

${\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$ 

对 ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in U}$  的庞加莱度量为

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|.}$ 

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射：

${\displaystyle q=exp(i\pi \tau )}$ 

这里 q 是 nome（Nome），${\displaystyle \tau }$  是半周期比例（half-period ratio）。在上一节的记号中，${\displaystyle \tau }$  是上半平面 ${\displaystyle \Im \tau >0}$  的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},}$ 

度量的势能是

${\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.}$ 

庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。

• 富克斯群（Fuchsian group）
• 富克斯模型（Fuchsian model）
• 克莱因群
• 克莱因模型
• 庞加莱圆盘模型
• 庞加莱半平面模型
• 本原测地线（Prime geodesic）
• 施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
• Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)