对偶小波

给一个平方可积函数 ${\displaystyle \psi \in L^2(\mathbb{R})}${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}  , 定义级数 ${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$  由

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)}$ 

给整数 ${\displaystyle j,k\in \mathbb {Z} }$ .

这种函数称为R函数(R-function)，假如${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$ 的线性展延在${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 上,且假如存在一个正的常数A, B，其中${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$  如下式

${\displaystyle A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,}$ 

对于所有双无限平方累加(bi-infinite square summable)级数 ${\displaystyle \{c_{jk}\}}$ . 在这里, ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{l^{2}}}$  代表平方和范数:

${\displaystyle \Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}}$ 

而 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{L^{2}}}$  代表在 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 的通常范数(usual norm):

${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx}$ 

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一个独特的对偶基底(dual basis) ${\displaystyle \psi ^{jk}}$  如下式

${\displaystyle \langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}}$ 

${\displaystyle \delta _{jk}}$ 为克罗内克函数(Kronecker delta)，而 ${\displaystyle \langle f\vert g\rangle }$ 为在${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 的内积(inner produce)。确实，这里存在一个对于平方可积函数 f 表示基底的特殊级数表示:

${\displaystyle f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)}$ 

假如这里存在一个函数 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$  如下式

${\displaystyle {\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}}$ 

${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$  称为对偶小波(dual wavelet)或是小波对偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般来说，对于一些R函数(R-function)ψ,对偶不一定存在。在特别情况 ${\displaystyle \psi ={\tilde {\psi }}}$ 中,这个小波称为正交小波(orthogonal wavelet)。

要举一个没有对偶的R函数(R-function)很简单。让${\displaystyle \phi }$  为一个正交小波。然后定义 ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)+z\phi (2x)}$ ，z 为复数.如此一来可以很简单的表明 ψ 没有对偶小波。

• Multiresolution analysis

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8