哈特格斯数

数学特别是公理化集合论中,哈特格斯数(Hartogs number)是一类特殊的基数。它由弗里德里希·哈特格斯(Friedrich Hartogs)在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出(没有使用选择公理),用于证明对任意给定的良序集,至少有一个良序集的基数大于它。

然而,要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发:对任意集合,与之对应的哈特格斯数是不与的任何子集等势的最小序数。如果并非良序的话,我们其实不能说一定是势大于的最小良序集;但是,我们仍然可以确定的势至少不小于——或者说大于等于——的势。从映射,被称作哈特格斯函数(Hartogs's function)

证明

由集合论的一些基本定理可以很容易证明哈特格斯数的存在:

 

为所有满足“存在从该序数 到集合 的单射”的序数 组成的

首先,我们来证明 是集合:

  1. 幂集公理 是集合。
  2. 再由幂集公理, 是集合。
  3. 分离公理 的所有自反良序子集组成的类 是集合(因为它是从 中分离得到)。
  4. 替换公理可知, 中良序集的序类型是集合——该集合正是 

接下来,由于序数的传递集也是序数,因此 是序数。更进一步地,不存在从  的单射——否则就会导致 的矛盾(因为 是序数,这也就是说 )。最后, 也是满足这一性质的最小序数,否则,如果有一序数 ,那么 ,也就是说 

而不存在  的单射也就意味着  的任意子集都不等势。

历史评价

值得一提的是,在1915年,哈特格斯能够使用的数学工具中既不包括冯·诺伊曼序数也不包括替换公理,因此他的结论是单纯建立在策梅洛集合论上的,导致其与现今的阐述有很大的不同。相反地,他当时考虑的是 的良序子集的同构类的集合,以及这一集合上“ 当且仅当 同构于 的真前段”的关系。哈特格斯证明了存在一个良序集大于 的任意良序子集。(这是历史上第一次真正构造出不可数良序集。)然而,他的真正目的其实是证明基数三分法可以推出(十一年前被提出的)良基定理(进一步则等价于选择公理)。

参见

  • 后继基数(Successor cardinal)
  • 阿列夫数

参考文献

  • Hartogs number. [2019-05-20]. (原始内容存档于2017-02-01). 
  • 郝兆宽 杨跃. 集合论:对无穷概念的探索. 复旦大学出版社. 2015-09. ISBN 9787309107104 (中文).