虚数单位

数学物理工程学里,虚数单位是指二次方程的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程,但可以通过虚数单位将实数系统延伸至复数系统。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数,那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位标记为,在电机工程和相关领域中则标记为,这是为了避免与电流(记为)混淆。

虚数单位复平面的位置。横轴是实数,竖轴是虚数
各种各样的
基本

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延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

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2i
-1+i i 1+i
-2 -1 0 1 2
-1-i -i 1-i
-2i

定义

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

虚数单位 定义为二次方程式 的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为:

 

由于实数的平方绝不可能是负数,我们假设有这么一个数目解答,给它设定一个符号 。很重要的一点是, 是一个良定义的数学构造。

另外,虚数单位同样可以表示为:

 

然而 往往被误认为是错的,他们的证明的方法是:

因为 ,但是-1不等于1。
但请注意: 成立的条件有 , 不能为负数

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时,我们只需要假设 是一个未知数,然后依照 的定义,替代任何 的出现为-1。 的更高整数幂数也可以替代为  ,或 ,根据下述方程式:

 
 
 

一般地,有以下的公式:

 
 
 
 
 

其中 表示被4除的余数

i-i

方程 有两个不同的解,它们都是有效的,且互为共轭虚数倒数。更加确切地,一旦固定了方程的一个解 ,那么 (不等于 )也是一个解,由于这个方程是 的唯一的定义,因此这个定义表面上有歧义。然而,只要把其中一个解选定,并固定为 ,那么实际上是没有歧义的。这是因为,虽然  在数量上不是相等的(它们是一对共轭虚数),但是  之间没有质量上的区别(-1和+1就不是这样的)。在任何的等式中同时将所有i替换为-i,该等式仍成立。

 
 

正当的使用

虚数单位有时记为 。但是,使用这种记法时需要非常谨慎,这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如,公式 仅对于非负的实数  才成立。

假若这个关系在虚数仍成立,则会出现以下情况:

 (不正确)
 (不正确)
 (不正确)

i的运算

 
虚数单位 的平方根在复平面的位置

许多实数的运算都可以推广到 ,例如平方根对数三角函数。以下运算除第一项外,均为与 有关的多值函数,在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

 
这是因为:
 
使用算术平方根符号表示:
 
其解法为先假设两实数  ,使得 ,求解 [1]
  • 一个数的 次幂为:
 
一个数的 次方根为:
 
利用欧拉公式
  
代入不同的 值,可计算出无限多的解。当 最小的解是 0.20787957635076...[2]
  •  为底的对数为:
 
  •  余弦是一个实数
 1.5430806348152...
  •  正弦纯虚数
 1.1752011936438... 

在编程语言

  • 大部分的编程语言都不提供虚数单位,且平方根函数(大多为sqrt()Math.Sqrt())的引数不可以是负数,因此,必须自行建立类别后方可使用。
  • Lisp的许多实现与方言,如Common Lisp,内建虚数复数的支持。不少动态语言受其影响,也在语言本身或标准库中支持虚数复数,如PythonRuby
  • 一些传统编程语言,如C语言,也从C99开始支持虚数复数
  • Matlab虚数单位的表示方法为ij,但ijfor循环可以有其他用途。
  • Mathematica虚数单位的表示方法为I𝕚𝕛
  • Maple,必须启用虚数功能,并选择用i还是j表示虚数单位
  • Go语言于第 1.0 版就内建虚数复数的支持,变量类型为 complex64complex128[3]

注解

  1. ^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?页面存档备份,存于互联网档案馆) URL retrieved March 26, 2007.
  2. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
  3. ^ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. (原始内容存档于2022-06-28). 

参见

参考文献

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接