阿基米德中点定理

若为同侧：在线段${\displaystyle AD}$ 上取点${\displaystyle X}$ ，使得${\displaystyle DX=DC}$ ，由于${\displaystyle MD\perp AC}$ ，有

${\displaystyle MX=MC}$ 。又因为M为弧${\displaystyle AB}$ 中点，${\displaystyle AM=BM}$ 。

同时由圆周角定理知：

${\displaystyle \angle MAC=\angle MBC}$ ，${\displaystyle \angle ABM=\angle ACM}$ ，

所以 ${\displaystyle \angle XMC=2\angle DMC=180^{\circ }-2\angle ACM=180^{\circ }-2\angle ABM=\angle AMB}$  ，

所以 ${\displaystyle \angle AMX=\angle AMC-\angle XMC=\angle AMC-\angle AMB=\angle BMC}$ ，

所以 ${\displaystyle \triangle AMX\cong \triangle BMC}$ ，

所以 ${\displaystyle AX=BC}$ ，${\displaystyle AD=AX+XD=DC+CB}$ ，命题得证。

若为异侧：在线段AD延长线上取点X,使DX=AD.因为M为弧AB中点，所以角ACM=角BCM.又因为四边形AMBC为圆内接四边形，所以，延长CB至P,则角MBP=角MAC.但是AD=DX,角ADM为直角，所以${\displaystyle \triangle ADM\cong \triangle XDM}$  ； ${\displaystyle \angle MAC=\angle AXM}$  ； ${\displaystyle \angle MBP=\angle AXM}$  ； ${\displaystyle \angle CXM=\angle CBM}$  。

又 CM = CM， 所以 ${\displaystyle \triangle CXM\cong \triangle CBM}$  。

承上所述，所以 CX = CB。所以 AD = DC - CX = DC - CB。

• Java程式 (by Jim Loy)