处处不连续函数
处处不连续函数是一数学名词，是指在其定义域上的每一点都不连续的函数。若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε > 0 ，使得针对每一个δ > 0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：
- 0< |x − y| < δ 且|f(x) − f(y)| ≥ ε
换句话说，不论距固定点多近，都有距固定点更近的点使函数的值偏离固定点对应的值。例如狄利克雷函数就是一个处处不连续函数。
狄利克雷函数
狄利克雷函数（英语：Dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为 的不连续函数。
当
- 自变量 为有理数时， ；
- 自变量 为无理数时， 。
超实数特性
一实数函数f为处处不连续，若其超实数延伸有以下的特性：每一个无限接近一个x都有一个无限接近的点y，使得距离f(x)-f(y)不是无穷小量。
相关条目
- Thomae函数：在无理数下连续，但在有理数下不连续的函数。
- 魏尔斯特拉斯函数：一个处处连续，但处处不可微分的函数。
外部链接
- Hazewinkel, Michiel (编), Dirichlet-function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Dirichlet Function — from MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- The Modified Dirichlet Function by George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.