无条件收敛

在数学中，一个级数 $\scriptstyle \sum _{i\in {\mathcal {I}}}a_{i}$ 无条件收敛于一个特定值 $\beta$ ，是指对任意小的差别 $\epsilon$ ，都会存在 $\scriptstyle {\mathcal {I}}$ 中的一个子集 $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ ，使得对所有的包含 $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ 的集合 $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ ，里面的元素加起来的和与 $\beta$ 之间的差距都小于 $\epsilon$ 。

\left|\sum _{i\in {\mathcal {T}}}a_{i}-\beta \right|\leq \epsilon

当集合 $\scriptstyle {\mathcal {I}}$ 是可数集合的时候，无条件收敛等价于说“任意排列级数项的顺序都会收敛”，具体来说。一个级数 $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ 无条件收敛于一个特定值 $\beta$ ，当且仅当对任意的从自然数到自然数的置换 $\sigma$ ，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ 都收敛。

当 $\scriptstyle {\mathcal {I}}$ 是不可数的集合时，无条件收敛也称为网收敛。

定义

设 $X$ 为一个拓扑向量空间， $I$ 为一个指标集，满足对任意 $i\in I$ ， $x_{i}\in X$ 。

级数 $\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}$ 被称为无条件收敛到 $x\in X$ 的，如果：

指标集 $I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}$ 是可数集；
任意 $I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}$ 的排列满足下列关系： $\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=x$ .

与绝对收敛的关系

无条件收敛是定义在装备了距离的赋范向量空间中定义的。在赋范向量空间中还有另外一类收敛，称为绝对收敛。绝对收敛的定义是：一个级数 $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ 绝对收敛，当且仅当实数列：

\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|

收敛。

对于通常的实数级数或复数级数，无条件收敛和绝对收敛是等价的。在一般的有限维的巴拿赫空间中，两者也是等价的概念。而对于更一般的情况，绝对收敛能够推出无条件收敛，但反之无条件收敛并不能推出绝对收敛。

参见

参考来源

Ch. Heil: 基底理论入门（页面存档备份，存于互联网档案馆）
张贤科,许甫华. 《高等代数学》. 清华大学出版社. 2004. ISBN 978-7-302-08227-9.
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