假设在某一实际问题中,对于给定的连续函数 ,量 有以下三个特点:
1.一方面, 是由区间 所决定的常量,不妨记之为 。另一方面,当考虑右端点变动的区间 时, 又依赖于 而成为变量,也就是说,它又是 的函数而简记为 。
2.对于 的每个子区间, 都有确定的值,并且关于区间有可加性,即若 ,则
3.部分量 的近似值可表示为 。
为了计算出量 并把它表达为积分的形式,我们采取两个步骤:
第一步(分割、近似),将区间 进行分割,而得到
,
并求出 (即 )的近似值 。
第二步(求和、取极限),将 关于 从 到 求和得到
令 取极限,由于连续函数 的可积性,最后得
接下来我们把这个过程进行简化。
由上式可以知道
如果略去足码 ,而将任意的小区间记为 ,并取 的近似值为 ,由微分形式的微积分基本定理[1]可知,它恰恰是 的微分,即 于是在实际应用上,上述两个步骤可以简述为
第一步,在区间 上计算 的微分
第二步,在 上求和(求积)得
不论是几何的物理的还是其他科学技术的量,只要它具有上述的三个特点,我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法或微元法。而 及 则称为无穷小元素或微元。由于在力学和物理学的大部分问题中,通过问题的实际意义可以知道,所求量的函数是连续函数,因此微元法总是可以应用的。