等价矩阵

线性代数矩阵论中,两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个 的矩阵,记作AB。它们之间等价当且仅当存在两个可逆方块矩阵 的矩阵P以及 的矩阵Q,使得

这时称两个矩阵AB等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵AB相似,那么它们一定是等价矩阵,因为按照矩阵相似的定义,可以找到一个可逆矩阵P,使得

由于其中的P-1也是可逆的矩阵,所以AB相似必然推出它们等价。但是,等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵,而等价矩阵则没有这个要求。其次,即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵, 中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。

性质

等价矩阵是矩阵集合 中的一种等价关系

两个矩阵等价当且仅当:

  • 其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。
  • 它们有相同的

参见