香农小波

香农小波的构建从Sinc函数开始。

尺度函数

首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数：

${\displaystyle \phi ^{\text{(Sha)}}(t):={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}$ 

其伸缩和平移为：

${\displaystyle \phi _{k}^{n}(t):=2^{n/2}\phi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)}$ 

其中，${\displaystyle n,k}$  为伸缩和平移的参数。

尺度函数的傅里叶变换为：

${\displaystyle \Phi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\Pi ({\frac {\omega }{2\pi }})={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }},&{\mbox{if }}{|\omega |\leq \pi },\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$ 

其中（归一化的）矩形函数定义为：

${\displaystyle \Pi (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$ 

尺度函数在傅里叶域中的伸缩和平移定义为：${\displaystyle \Phi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n+1}\pi }})}$ 

母小波

由尺度函数 ${\displaystyle \Phi ^{\text{(Sha)}}}$  和多分辨率近似，我们可以得出香农母小波在傅里叶域的形式：

${\displaystyle \Psi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega }{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}}$ 

其伸缩和平移形式为：

${\displaystyle \Psi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}}$ 

对其进行逆傅里叶变换，可以得到香农母小波函数的伸缩和平移形式：

${\displaystyle \psi ^{\text{(Sha)}}(t)={\frac {\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}}=\operatorname {sinc} {\bigg (}t-{\frac {1}{2}}{\bigg )}-2\operatorname {sinc} {\bigg (}2(t-{\frac {1}{2}}){\bigg )}}$ 

${\displaystyle \psi _{k}^{n}(t)=2^{n/2}\psi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)}$ 

进一步了解香农小波的构建可以参考^[1]。

尺度函数和母小波的性质

• 母小波是单位正交的：

${\displaystyle <\psi _{k}^{n}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=\delta ^{nm}\delta _{hk}={\begin{cases}1,&{\text{if }}h=k{\text{ and }}n=m\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ 

• 尺度 ${\displaystyle n=0}$  的尺度函数的平移是正交的：

${\displaystyle <\phi _{k}^{0}(t),\phi _{h}^{0}(t)>=\delta ^{kh}}$ 

• 尺度${\displaystyle n=0}$ 的尺度函数和母小波时正交的：

${\displaystyle <\phi _{k}^{0}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=0}$ 

• 香农小波有无穷阶的消失矩

在傅里叶变换中，香农母小波由下式给出：

${\displaystyle \Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).}$ 

其中（归一化）门函数由下式定义：

${\displaystyle \prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if}}{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}}$ 

实香农小波的解析表达式可由逆傅里叶变换得到：

${\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)}$ 

也可按：

${\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t-1)-\operatorname {sinc} (t),}$ 

其中

${\displaystyle \operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}}$ 

是出现在香农采样定理中的常见正弦函数。 该小波有${\displaystyle C^{\infty }}$ 级的可微性，但是在无穷远处缓慢减小并且没有有界支撑，因为有频带限制的信号没有时间限制。

对于香农MRA（或是正弦MRA）的缩放函数由下面示例函数给出：

${\displaystyle \phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}$ 

复连续香农小波由下式定义：

${\displaystyle \psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t).e^{-j2\pi t}}$ ,

• S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 7-118-02642-5. OCLC 50621155.