狄拉克算子

数学量子力学中,狄拉克算子(英语:Dirac operator)是一个微分算子,它是二阶微分算子(如拉普拉斯算子)的形式平方根。保罗·狄拉克研究的原始案例是形式分解闵可夫斯基空间的算子,得到一种与狭义相对论兼容的量子理论形式;为了得到由一阶算子产生的拉普拉斯算子,他引入了旋量

形式定义

一般的,令D是作用于黎曼流形M上的向量丛V的一阶微分算子。如果

 

其中∆是V上的拉普拉斯算子,则D被称为狄拉克算子

高能物理中,这个条件经常被放松:只有D2的二阶部分必须等于拉普拉斯算子。

例子

例1: D=-ix是作用在直线上的切线丛的狄拉克算子。

例2: 我们现在考虑一个物理学中重要的简单丛:一个限制在平面上带有½自旋的粒子的位形空间,这也是一个基本流形。它被表示为波函数ψ: R2C2

 

其中x和y是R2上的坐标。χ表示自旋向上粒子的概率幅,η与之类似。所谓的自旋狄拉克算子可以被写为

 

其中σi泡利矩阵。通过泡利矩阵的反对易关系可以知道上面定义的性质是显然的。这些定义了克利福德代数的概念。

旋量场的狄拉克方程的解常被称为调和旋量。

例3: 描述三维空间中自由费米子的传播的狄拉克算子可以写为

 

其中用到费曼斜线标记

例4:克利福德分析英语Clifford analysis中也有狄拉克算子。 在n维欧几里得空间中是

 

其中{ej: j = 1, ..., n}是n维欧几里得空间的标准正交基,考虑Rn嵌入一个克利福德代数

这是阿蒂亚-辛格-狄拉克算子作用于旋量丛的特殊情形。

例5: 对于一个自旋流形英语spin manifoldM,阿蒂亚-辛格-狄拉克算子局部定义如下:对于xMM在x处的切空间的局部标准正交基e1(x), ..., ej(x),阿蒂亚-辛格-狄拉克算子是

 ,

其中 是从M上的列维-奇维塔联络M上的旋量丛的提升。

推广

在克利福德分析中,算子D: C(RkRn,S)→C(RkRn,CkS)作用在如下定义的旋量值函数

 

有时被称为k克利福德变量的狄拉克算子。上面符号中,是旋量空间,S是旋量空间,  是n维变量, 是狄拉克算子在第i个变量的分量。这是狄拉克算子(k=1)和杜比尔特算子英语Dolbeault operatorn=2k 任意)的一般推广。这是一个不变微分算子英语invariant differential operator,在群SL(k)×Spin(n)的作用下不变。D分解只在一些特殊情形是已知的。

另请参阅

参考资料

  • Friedrich, Thomas, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1 
  • Colombo, F., I.; Sabadini, I., Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra, Birkhauser Verlag AG, 2004, ISBN 978-3-7643-4255-5