四阶五边形镶嵌
在几何学中，四阶五边形镶嵌是由正方形组成的双曲面正镶嵌图，在施莱夫利符号中用{5,4}表示。四阶五边形镶嵌即每个顶点皆为五个五边形的公共顶点，顶点周围包含了四个不重叠的五边形，一个正五边形内角为108度，四个五边形超过了360度，因此无法因此无法在平面作出，但可以在双曲面上作出。
 庞加莱圆盘模型 | ||
| 类别 | 双曲正镶嵌 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 五阶正方形镶嵌 | |
| 识别 | ||
| 鲍尔斯缩写 | peat | |
| 数学表示法 | ||
| 考克斯特符号 |     | |
| 施莱夫利符号 | {5,4} r{5,5} | |
| 威佐夫符号 | 4 | 5 2 2 | 5 5 | |
| 组成与布局 | ||
| 顶点图 | 5.5.5.5 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | [5,4], (*542) [5,5], (*552) | |
| 旋转对称群 | [5,4]+, (542) [5,5]+, (552) | |
| 图像 | ||
| ||
四阶五边形镶嵌在双色半正表面涂色时，也可以称为截半五阶五边形镶嵌，因为该结构可由五阶五边形镶嵌通过截半变换构造而来。
对称群
四阶五边形镶嵌可表示以正五边形的五边镜射的双曲万花筒。其对称群在轨形符号中以*22222表示五阶双镜射相交，考克斯特符号则以[5*,4]表示从[5,4]移除两个穿过五边形中心的三个镜射像。
该镶嵌有一种表面涂色，即将五边形交错涂上不同颜色。该表面涂色的图形可以用t1{5,5}的施莱夫利符号表示，是一种半正镶嵌，称为截半五阶五边形镶嵌。
相关多面体及镶嵌
四阶五边形镶嵌可以透过截角操作或其他康威变换得到一系列与之相关的半正镶嵌，其与四阶五边形镶嵌拥有相似的对称性[5,4], (*542)或[5,4]+(542)：
| 对称性：[5,4], (*542) | [5,4]+, (542) | [5+,4], (5*2) | [5,4,1+], (*552) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {5,4} | t{5,4} | r{5,4} | 2t{5,4}=t{4,5} | 2r{5,4}={4,5} | rr{5,4} | tr{5,4} | sr{5,4} | s{5,4} | h{4,5} | |
| 半正对偶 | ||||||||||
| V54 | V4.10.10 | V4.5.4.5 | V5.8.8 | V45 | V4.4.5.4 | V4.8.10 | V3.3.4.3.5 | V3.3.5.3.5 | V55 | |
四阶五边形镶嵌也可以从五阶五边形镶嵌透过截角操作或其他康威变换得到一系列与之相关的半正镶嵌，由于对应的镶嵌是截半五阶五边形镶嵌，因此与五阶五边形镶嵌拥有相似的对称性[5,5], (*552)或[5,5]+(552)：
| 对称性：[5,5], (*552) | [5,5]+, (552) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| = |
= |
= |
= |
= |
= |
= |
= |
| {5,5} | t{5,5} |
r{5,5} | 2t{5,5}=t{5,5} | 2r{5,5}={5,5} | rr{5,5} | tr{5,5} | sr{5,5} |
| 半正对偶 | |||||||
| V5.5.5.5.5 | V5.10.10 | V5.5.5.5 | V5.10.10 | V5.5.5.5.5 | V4.5.4.5 | V4.10.10 | V3.3.5.3.5 |
| 球面镶嵌 | 多面体 | 双曲镶嵌 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | ...∞4 |
| 多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {5,2} |
{5,3} |
{5,4} |
{5,5} |
{5,6} |
{5,7} |
{5,8} |
... | {5,∞} |
参见
参考文献
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（页面存档备份，存于互联网档案馆）
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（页面存档备份，存于互联网档案馆）