子群

给定一个群${\displaystyle (G,*)}$ ，${\displaystyle H}$ 为${\displaystyle G}$ 的子集，则有${\displaystyle H}$ 为${\displaystyle G}$ 的子群当且仅当${\displaystyle \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$ 。

若${\displaystyle H}$ 为${\displaystyle G}$ 的子群可表示为${\displaystyle H\leq G}$ ，则以上表述可表示为:

${\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$ 

证明：

${\displaystyle (\Longrightarrow )}$ ：

因为${\displaystyle H\leq G}$ ，对于任意${\displaystyle h'\in H}$ ，${\displaystyle \exists h'^{-1}\in H}$ ，另有${\displaystyle h\in H}$ ，由于${\displaystyle H}$ 为一个群，所以${\displaystyle h*h'^{-1}\in H}$ 。

${\displaystyle (\Longleftarrow )}$ ：

假设${\displaystyle \exists x\in H}$ ，令${\displaystyle h=h'=x}$ ，可得${\displaystyle h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H}$ ，即${\displaystyle H}$ 存在单位元。

对于${\displaystyle x\in H}$ ，令${\displaystyle h=e_{G}}$ ，${\displaystyle h'=x}$ ，可得${\displaystyle h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H}$ ，即对于任意${\displaystyle x\in H}$ ，存在${\displaystyle x^{-1}\in H}$ 。

对于${\displaystyle x,y\in H}$ ，令${\displaystyle h=x}$ ，${\displaystyle h=y^{-1}}$ ，可得${\displaystyle h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H}$ ，即对于任意${\displaystyle x,y\in H}$ ，${\displaystyle x*y\in H}$ 。

因此${\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$ 成立。

• ${\displaystyle H\leq G}$  ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ 且存在一个映射${\displaystyle \phi :H\to G}$ ,且对每个 ${\displaystyle a\in H}$  有${\displaystyle \phi (a)=a}$ 。
• ${\displaystyle H\leq G}$  ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle e_{H}=e_{G}}$ ,其中${\displaystyle e_{H},e_{G}}$ 为${\displaystyle H,G}$  的单位元。
• 若${\displaystyle H\leq G}$ ，则${\displaystyle a,b}$ 为会使得${\displaystyle ab=ba=e_{H}}$  之 ${\displaystyle H}$  中的元素，有${\displaystyle ab=ba=e_{G}}$ 。
• 若${\displaystyle H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G}$  .但${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$ 则不一定，例如2和3是在${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ 与${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$ 的并集中，但其总和5则不是。
• 若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
• 群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得aⁿ = e的正整数，且n被称为是a的“阶”。若<a>同构于Z，则a会被称有“无限阶”。
• 任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论并集“所产生”的子群。)若e为G的单位元，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。

1. 有限群

${\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$  和以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。 其凯莱表为

+	0	4	2	6	1	3	5	7
0	0	4	2	6	1	3	5	7
4	4	0	6	2	5	7	1	3
2	2	6	4	0	3	5	7	1
6	6	2	0	4	7	1	3	5
1	1	5	3	7	2	4	6	0
3	3	7	5	1	4	6	0	2
5	5	1	7	3	6	0	2	4
7	7	3	1	5	0	2	4	6

此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有着一对非当然子群：${\displaystyle J=\{0,4\}}$  和 ${\displaystyle H=\{0,2,4,6\}}$ ，其中 ${\displaystyle J}$  亦是 ${\displaystyle H}$  的子群。${\displaystyle H}$  的凯莱表是 ${\displaystyle G}$  的凯莱表之左上半部。 ${\displaystyle G}$  群是循环的，而其子群亦为。一般而言，循环群的子群亦为循环的。

2. 二面体群

如果${\displaystyle G=D_{n}}$ ，则 ${\displaystyle R=\{e,r,r^{2},...,r^{n-1}\}}$ 是一个子群

3.群的中心，中心化子，正规化子

我们设${\displaystyle Z(G)}$ 一个群G的子集，包含了所有与群G中其他元素可交换的元素，也就是说

${\displaystyle Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}}$ ，此集合为群G的子群。我们称此子群为群的中心，记作${\displaystyle Z(G)}$ 。

设A为G的任意子集，则A在G中的中心化子为集合${\displaystyle C_{G}(A)}$ ，此集合的定义为:

${\displaystyle C_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}}$ ，此集合也是群G的子群。

至于A在G中的正规化子则为集合${\displaystyle N_{G}(A)}$ ，此集合定义为:

${\displaystyle N_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}}$ ，此集合也是群G的子群。

给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地，每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系a₁ ~ a₂当且仅当a₁⁻¹a₂会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言，

${\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}$ 

其中o(G)和o(H)分别为G和H的阶。特别地是，每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的约数。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于[G:H]。

若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

• 嘉当子群
• 费汀子群
• 稳定子群