闭形式和恰当形式

庞加莱引理断言：如果 ${\displaystyle X}$  是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  中可缩开子集，对任何整数 ${\displaystyle p>0}$ ，任何定义在 ${\displaystyle X}$  上的光滑闭 ${\displaystyle p}$ -形式 ${\displaystyle \alpha }$  是恰当的（这只在 ${\displaystyle p\leq n}$  有内容）。

可缩意味着存在同伦映射 ${\displaystyle F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X}$  将 ${\displaystyle X}$  形变为一点。从而任何 ${\displaystyle X}$  中的闭链 ${\displaystyle c}$  都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 ${\displaystyle X}$  在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地，我们将 ${\displaystyle X}$  与柱 ${\displaystyle X\times [0,1]}$  联系起来，分别通过映射 ${\displaystyle j_{1}(x)=(x,1)}$ 与${\displaystyle j_{0}(x)=(x,0)}$ 与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 ${\displaystyle j_{1}^{*}}$ 与 ${\displaystyle j_{0}^{*}}$  由上链同伦联系：

${\displaystyle Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .}$ 

令 ${\displaystyle \Omega ^{p}(x)}$ 表示 ${\displaystyle X}$  上的 ${\displaystyle p}$ -形式，映射${\displaystyle K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)}$ 是柱映射的对偶，定义为：

${\displaystyle a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},}$ 

这里 ${\displaystyle dx^{p}}$  是一个不含 ${\displaystyle dt}$  的单项 ${\displaystyle p}$ -形式。所以如果${\displaystyle F}$ 是${\displaystyle X}$ 到一点${\displaystyle Q}$ 的同伦形变，那么

${\displaystyle F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .}$ 

在形式上：

${\displaystyle j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .}$ 

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理。

不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如，在${\displaystyle t\in [0,1]}$ 参数化圆周${\displaystyle S^{1}}$ 上，闭 1-形式${\displaystyle dt}$ 不是恰当的（注意：${\displaystyle t}$ 不能定义为整个 ${\displaystyle S^{1}}$ 上的函数，但${\displaystyle dt}$ 是一个良定的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但${\displaystyle dt}$ 在圆周上积分是${\displaystyle 2\pi }$ 。

• Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
• 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7