向量分析

向量分析，或称为向量微积分（英语：Vector calculus）是数学的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 中向量场的微分和积分。“向量分析”有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。

向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。

向量分析从四元数分析发展而来，由约西亚·吉布斯和奥利弗·黑维塞于19世纪末提出，大多数符号和术语由吉布斯和爱德华·比德韦尔·威尔逊（英语：Edwin Bidwell Wilson）在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种几何代数（英语：Geometric algebra）的方法，它利用可以推广的外积，下文将会讨论。

向量运算

代数运算

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，包括：

标量乘法: 标量场和向量场相乘，产生向量场： $a\mathbf {v}$ ;
向量加法: 两个向量场相加，产生向量场： $\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$ ;
内积: 两个向量场相乘，产生标量场： $\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$ ;
外积: 两个向量场相乘，产生向量场： $\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$ ;

还有两个三重积：

标量三重积: 向量和两个向量叉积的点积： $\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ ;
向量三重积: 向量和两个向量叉积的叉积： $\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ 或 $\left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}$ ;

尽管三重积不常作为基本运算，不过仍可以用内积及外积表示。

微分运算

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

算子	表示	叙述	界域
梯度	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	标量场 $f$ 于场中某点增加率最大的速率与方向	标量场的梯度是向量场
散度	$\operatorname {div} ({\vec {F}})=\nabla \cdot {\vec {F}}$	向量场 ${\vec {F}}$ 于场中某点附近发散或汇聚的程度	向量场的散度是标量场
旋度	$\operatorname {curl} ({\vec {F}})=\nabla \times {\vec {F}}$	向量场 ${\vec {F}}$ 于场中某点附近旋转的程度	向量场的旋度是向量场
向量拉普拉斯算子（英语：Vector Laplacian）	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度	向量场的向量拉普拉斯是向量场
拉普拉斯算子	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	对标量场 $f$ 作梯度运算后，再作散度运算	标量场的拉普拉斯是标量场

定理

同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度：

定理	表示	注解
梯度定理	$\int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$	梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理	$\int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	平面内向量场中区域的标量旋度，等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。
斯托克斯定理	$\int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	$\mathbb {R} ^{3}$ 内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理	$\int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =$ $\oiint$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S}$	向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

参见

实函数
向量恒等式
在圆柱和球坐标系中的del
方向导数
保守矢量场
螺线矢量场
拉普拉斯矢量场
亥姆霍兹分解
正交坐标
偏斜坐标
曲线坐标
张量

延伸阅读

A History of Vector Analysis（页面存档备份，存于互联网档案馆）