高斯定律

采用国际单位制，对于空间内的任意体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  ，其表面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$  ，真空中的高斯定律的积分形式可以用方程表达为

${\displaystyle \oiint {\overrightarrow {E}}\cdot d{\overrightarrow {s}}={\dfrac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$  ;

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$  为电场， ${\displaystyle {\textrm {ds}}}$  为闭合曲面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$  的微分面积，由曲面向外定义为其方向，${\displaystyle Q}$  是在体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  内的总电荷数量。

• 电通量 ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {A} }}$  是穿过曲面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$  的电场线数量：

${\displaystyle \Phi _{\mathbb {A} }=\iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '}$  。

• ${\displaystyle Q}$  包括自由电荷和束缚电荷（在电介质内，因电极化强度而产生的电荷）。
• ${\displaystyle \epsilon _{0}}$  是真空电容率。

应用

给予空间的某个区域内，任意位置的电场。原则上，应用高斯定律，可以很容易地计算出电荷的分布。只要积分电场于任意区域的表面，再乘以真空电容率，就可以得到那区域内的电荷数量。

但是，更常遇到的是逆反问题。给予电荷的分布，求算在某位置的电场。这问题比较难解析。虽然知道穿过某一个闭合曲面的电通量，这资料仍旧不足以解析问题。在闭合曲面任意位置的电场可能会是非常的复杂。

假若，问题本身显示出某种对称性，促使在闭合曲面位置的电场大小变得均匀。那么，就可以借着这均匀性来计算电场。像圆柱对称、平面对称、球对称等等，这些空间的对称性，都能帮助高斯定律来解析问题。若想知道怎样利用这些对称性来计算电场，请参阅高斯曲面（Gaussian surface）。

高斯定律的方程的微分形式为

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$  。

其中 ${\displaystyle \rho }$  为体电荷密度，${\displaystyle \epsilon _{0}}$  为真空电容率。

在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。

自由电荷与束缚电荷

自由电荷是自由移动，不被束缚于原子或分子内的电荷；而束缚电荷则是束缚于原子或分子内的电荷。当遇到涉及电介质的问题时，才需要考虑到束缚电荷所产生的效应。当电介质被置入于外电场时，电介质内的束缚电荷会被外电场影响，虽然仍旧束缚于其微观区域（原子或分子），但会做微小位移。所有这些微小位移的贡献造成了宏观的电荷分布的改变。

虽然微观而言，不论是自由电荷，还是束缚电荷，本质上都是电荷。实际而言，对于某些案例，使用自由电荷的概念可以简化问题的解析。但有时候，由于问题比较复杂，缺乏对称性，必需采用其它方法来解析问题。

积分形式

对于空间内的任意体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  ，其表面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$  ，这个高斯定律表述，可以用积分形式的方程表达为

${\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {D} \cdot \mathrm {ds} =Q_{\mathrm {free} }}$  ;

其中，${\displaystyle \mathbf {D} }$  为电位移， ${\displaystyle {\textrm {ds}}}$  为闭合曲面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$  的微分面积，由曲面向外定义为其方向，${\displaystyle Q_{\mathrm {free} }}$  是在体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  内的自由电荷数量。

微分形式

只涉及自由电荷，这个高斯定律表述的微分形式可以表达为

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }}$ 

其中，${\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }}$  是自由电荷密度，完全不包括束缚电荷。

请注意，在某种状况下，虽然区域内可能没有自由电荷，${\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }=0}$  。但是，这并不表示电位移等于 0 。因为，

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$  是电极化强度。

取旋度于方程的两边，

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {D} =\mathbf {\nabla } \times \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {\nabla } \times \mathbf {P} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {P} }$  。

所以，电位移很可能不等于 0 。最典型的例子是永电体。

在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。

等价证明

两种高斯定律数学等价的证明

本段落证明高斯定律对于总电荷的方程 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}}$  ， 等价于高斯定律对于自由电荷的方程 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$  。 请注意，这里只处理微分形式，不处理积分形式。这已达成足够条件。因为，根据散度定理，两种高斯定律的方程，其微分形式都分别等价于积分形式。 电位移 ${\displaystyle \mathbf {D} }$  的定义式为 ${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$  ； 其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$  是电极化强度。 束缚电荷密度 ${\displaystyle \rho _{bound}}$  的定义式为（请参阅电极化） ${\displaystyle \rho _{bound}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\nabla \cdot \mathbf {P} }$  。 注意到 ${\displaystyle \rho }$  是总电荷密度： ${\displaystyle \rho =\rho _{free}+\rho _{bound}=\rho _{free}-\nabla \cdot \mathbf {P} =\rho _{free}-\nabla \cdot \mathbf {D} +\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} }$  。 稍加编排， ${\displaystyle \rho -\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}-\nabla \cdot \mathbf {D} }$  。 所以，${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}}$  当且仅当 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}}$  。两个方程等价[1]。

线性电介质

线性电介质有一个简单良好的性质，其 ${\displaystyle \mathbf {D} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {E} }$  的关系方程为

${\displaystyle \epsilon \mathbf {E} =\mathbf {D} }$  ；

其中，${\displaystyle \epsilon }$  是物质的电容率。

对于线性电介质，又有一对等价的高斯定律表述：

${\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '={\frac {Q_{\mathrm {free} }}{\epsilon }}}$  、

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\epsilon }}}$  。

从库仑定律推导高斯定律

库仑定律阐明，一个固定的点电荷的电场是

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q'}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$  ；

其中，${\displaystyle q'}$  是点电荷，${\displaystyle \mathbf {r} }$  是电场位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$  是点电荷位置。

根据这方程，计算位于 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$  的无穷小电荷元素所产生的位于 ${\displaystyle \mathbf {r} }$  的电场，积分体积曲域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  内所有的无穷小电荷元素，可以得到电荷分布所产生的电场：

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  。

取这方程两边对于 ${\displaystyle \mathbf {r} }$  的散度：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} ')\nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  。

注意到

${\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$  ；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$ 是狄拉克δ函数。

所以，${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}$  的散度是

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} ')\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  。

利用狄拉克δ函数的挑选性质，可以得到高斯定律的微分形式：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=\rho (\mathbf {r} )/\epsilon _{0}}$  。

由于库仑定律只能应用于固定不动的电荷，对于移动电荷，这导引不能证明高斯定律成立。事实是，对于移动电荷，高斯定律也成立。所以，从这角度来看，高斯定律比库仑定律更一般化。

从高斯定律推导库仑定律

严格地说，从高斯定律不能从数学推导出库仑定律，高斯定律并没有给出任何关于电场的旋度的资料（参阅亥姆霍兹定理和法拉第电磁感应定律）。但是，假若能够添加一个对称性假定，即电荷造成的电场是球对称的（就像库仑定律本身一样，在固定不动电荷的状况，这假设是正确的；在移动电荷的状况，这假设是近乎正确的），那么，就可以从高斯定律推导出库仑定律。

高斯定律的方程为

${\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=Q/\epsilon _{0}}$  。

设定高斯定律积分的曲面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$  为一个半径 ${\displaystyle r}$  圆球面，圆心位置在电荷 ${\displaystyle Q}$  的位置。那么，由于球对称性，${\displaystyle \mathbf {E} =E(r){\hat {\mathbf {r} }}}$  ，${\displaystyle E(r)}$  与 ${\displaystyle d\mathbf {a} '}$  无关，可以将 ${\displaystyle E(r)}$  从积分内提出：

${\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=E(r)\iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset {\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=E(r)\iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathrm {d} a=4\pi r^{2}E(r)=Q/\epsilon _{0}}$  。

所以，库仑定律成立：

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$  。

• 卡尔·高斯
• 镜像法
• 恩绍定理（Earnshaw's theorem）
• 格林互反定理（Green's reciprocity theorem）
• 多极展开（multipole expansion）

• Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 978-0-471-30932-1. 

• 麻省理工学院物理系影视教学系列：电磁学