毕达哥拉斯平均毕达哥拉斯平均是三种平均数的总称,分别是算术平均数(A)、几何平均数(G)及调和平均数(H)。其定义如下: A ( x 1 , … , x n ) = 1 n ( x 1 + ⋯ + x n ) {\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})} G ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋯ x n n {\displaystyle G(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}} H ( x 1 , … , x n ) = n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} 二个数a及b的平方平均数及三种毕达哥拉斯平均的图示。调和平均数标示为H,几何平均数标示为G,算术平均数标示为A,平方平均数标示为Q 上述的任一个平均数都满足以下性质: M ( x , x , … , x ) = x {\displaystyle M(x,x,\ldots ,x)=x} M ( b x 1 , … , b x n ) = b M ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bM(x_{1},\ldots ,x_{n})} 若所有 x i {\displaystyle x_{i}} 均为正,三个平均数之间有以下的顺序关系: A ( x 1 , … , x n ) ≥ G ( x 1 , … , x n ) ≥ H ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq G(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq H(x_{1},\ldots ,x_{n})} 其中的等式成立当且仅当所有的 x i {\displaystyle x_{i}} 都相等。上式的不等式即为平均数不等式,也是幂平均不等式中的一个特例。 参照 算术-几何平均数外部链接 Pythagorean means on MathWorld (页面存档备份,存于互联网档案馆)