2的算术平方根

2的算术平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数分数表示。

2的平方根
2的平方根
数表无理数
      
命名
数字
名称2的平方根
2的算术平方根
2的主平方根
根号2
识别
种类无理数
符号
性质
以此为的多项式或函数
表示方式
1.414213562...
二进制1.011010100000100111100110
十进制1.414213562373095048801688
十六进制1.6A09E667F3BCC908B2FB1366

其最初65位为

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799OEIS数列A002193

是无理数的证明

人们发现了许多方法证明 是无理数。以下是反证法的证明

常见的证明

  1. 假设 是有理数,即有整数  ,使得 
  2.  重写成最简分数 ,即  互素,且 
  3. 所以 ,即 
  4. 因为 必为偶数,故 亦是偶数
  5.  为偶数(奇数平方不会是偶数)
  6. 所以必有一整数 ,使得 
  7. 将(3)的式子代入(6): 
  8. 化简得 
  9. 因为 是偶数,所以 是偶数, 亦是偶数
  10. 所以  都是偶数,跟 是最简分数的假设矛盾
  11. 因为导出矛盾,所以(1)的假设错误, 不是有理数,即是无理数

这个证明可推广至证明任何非完全平方数正整数 ,其算术平方根 为无理数。

另一个证明

另外一个 是无理数的反证法证明较少为人所知,但证明方法也相当漂亮:

  1. 假设 是有理数,便可以表示成最简分数 ,其中 ,  为正整数
  2.  
  3. 由于 ,所以 
  4. 因为 
  5.  
  6. 所以 
  7.  是比 更简的分数,与 是最简分数的假设矛盾

从一个直角边为 ,斜边为 等腰直角三角形,可以用尺规作图作出直角边为 ,斜边为 的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。

性质

2的算术平方根可以表示为以下的级数无穷乘积

 
 
 
 
 
 

2的算术平方根的连分数展开式为:

 

[注1]

注释

    注:

  1. ^  , 由观察可知 ,即 , 解方程,取正根,得 , 因此 

参见

外部链接