三角不等式

标量

在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}\geq {\overline {AC}}}$ 。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）^[1]

现在，我们有三角形ABC。延长${\displaystyle {\overline {AB}}}$ 至点D，并使${\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {BC}}}$ ，联结${\displaystyle {\overline {DC}}}$ 。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以${\displaystyle \angle BDC=\angle BCD}$ 。记它们均为${\displaystyle \alpha }$ 。

根据欧几里得第五公设，角${\displaystyle \beta }$ 也就是${\displaystyle \angle ACD}$ 大于角${\displaystyle \alpha }$ （${\displaystyle \angle BCD}$ ，也就是${\displaystyle \angle BDC}$ ）；

由于角${\displaystyle \beta }$ 对应边${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ，角${\displaystyle \alpha }$ 对应边${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ，因此${\displaystyle {\overline {AD}}>{\overline {AC}}}$ （大角对大边，命题19）。^[2]

又由于${\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {BC}}}$ ，所以${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}}$ ，即证。

如果我们将该式左右各减去${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ，便能得到${\displaystyle {\overline {AB}}>{\overline {AC}}-{\overline {BC}}}$ ，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时${\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b}$ ，而a, b, c为三角形三边的长。

向量

用向量的写法，这个不等式可以写成：

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}$ 

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}}$ ，该式也可以写成：${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}$ ，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ 的方向向量为${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ，向量${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ 的方向向量为${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ，

那么因为${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}}$ ，得向量${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$ 的方向向量为${\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$ 。

因此，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}$ ，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|={\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}}}}$ 。

所以，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|-\left|{\overrightarrow {AC}}\right|=2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}-2x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}}$ 。

而${\displaystyle (2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+4x_{1}^{2}y_{2}^{2}+4x_{2}^{2}y_{1}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}}$ ，${\displaystyle (2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}}$ ，

两者相减再配方，得到${\displaystyle (2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1})^{2}}$ ，该式实际上是${\displaystyle (\left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|)^{2}-(\left|{\overrightarrow {AC}}\right|)^{2}}$ 的值。

当且仅当${\displaystyle x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}}$ 时，该式的值为0，而此时我们可以推出${\displaystyle x_{1}=kx_{2},y_{1}=ky_{2},k\in \Re }$ ，这说明${\displaystyle x_{1}}$ 和${\displaystyle x_{2}}$ 、${\displaystyle y_{1}}$ 和${\displaystyle y_{2}}$ 都是平行的。而由于${\displaystyle x_{1}}$ ，也就是向量${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ 的终点和${\displaystyle x_{2}}$ ，也就是向量${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ 的起点是相同的，显然${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ 和${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ 共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用${\displaystyle y_{1}}$ 和${\displaystyle y_{2}}$ 平行也一样能够推出${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ 和${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ 共线。

其他任何情况，也就是${\displaystyle x_{1}y_{2}\neq x_{2}y_{1}}$ 时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

在实数中，此式依然成立：${\displaystyle \left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}$ 。

证明如下：

考虑到实数的平方必然是非负数，将两边平方，使它剩下一套绝对值符号：

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+\left|2ab\right|+b^{2}}$ 

${\displaystyle 2ab\leq \left|2ab\right|}$ 

对于${\displaystyle (a<0,b>0)\lor (b<0,a>0)}$ （即a, b彼此异号），${\displaystyle 2ab<\left|2ab\right|}$ ；

对于${\displaystyle (a,b\leq 0)\lor (a,b\geq 0)}$ （即a, b彼此同号），${\displaystyle 2ab=\left|2ab\right|}$ 。

像几何中的情况一样，该式的推论为：${\displaystyle \left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq \left|a\pm b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}$ 。

在闵可夫斯基空间，三角不等式是反方向的：

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     对所有 x, y ${\displaystyle \in }$  V，使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 t_x t_y ≥ 0

这个不等式的物理例子可以在狭义相对论中的双生子佯谬找到。

• 次加性