反余切

反余切表示余切的反函数，因此是一个多值函数^[1]。为了要符合函数定义，因此要对原函数加以限制，从而存在多种定义方式。最常见的定义方式有两种：

1. 将余切函数限制在${\displaystyle [0,\pi ]}$ （[0, 180°]）的反函数^[1]，应用于测量学
2. 将余切函数限制在${\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ （${\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}$ ）的反函数^[2]，应用于复变分析

在复变分析中则是采用第二种定义延伸至复数^[4]，并存在等式：

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\left[\ln \left({\frac {x-i}{x}}\right)-\ln \left({\frac {x+i}{x}}\right)\right]}$ 

这个动作使反余切被推广到复数。

此外，反余切函数^{[函数 3]}也可以使用其他反三角函数进行定义^[2]：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot}(x)=\cot ^{-1}(x)&={\begin{cases}\sec ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right)-\pi ,&{\mbox{for }}x<0\\\sec ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}x,&{\mbox{for }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}x,&{\mbox{for }}x>0\lor x=0\end{cases}}\\&={\begin{cases}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-\csc ^{-1}\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\\csc ^{-1}\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}\\&={\begin{cases}-\cos ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right)-\pi ,&{\mbox{for }}x<0\\\cos ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}\\\end{aligned}}}$ 

直角坐标系中

在直角坐标系中，反余切函数可以视为已知直线垂线斜率的倾角，但是有可能差一个负号。

级数定义

反余切函数可以使用无穷级数定义：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}$ ^{[函数 2]}

对${\displaystyle x>0}$ 时给出反余切函数的泰勒展开式为^{[函数 3][17]}：

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots }$ 

以上等式也可以直接用来表示取最小同界角的反余切函数^{[函数 2]}。

也可以用当${\displaystyle z=\infty }$ 的洛朗级数来定义，对应${\displaystyle \left|z\right|>1}$ 的情形：

${\displaystyle \operatorname {arccot} z=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{-(2k+1)}}{2k+1}}={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}-{\frac {1}{7x^{7}}}+{\frac {1}{9x^{9}}}-\cdots }$ ^{[函数 3]}

此外也有欧拉导出的无穷级数^[18]：

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)=\cot ^{-1}(z)=z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-2)!!}{(2n-1)!!\left(z^{2}+1\right)^{n}}}}$ ^{[函数 3]}

反余切函数^{[函数 2]}满足等式：

${\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x=180^{\circ }-\operatorname {arccot} x\!}$ 

反余切函数是一个递减函数。

在复变分析中，反余切函数^{[函数 3]}在当${\displaystyle x}$ 不等于零时是一个奇函数，因此满足下面等式：

${\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=-\operatorname {arccot} x\qquad (x\neq 0)}$ 

反余切虽有多种定义方式，但其在${\displaystyle x=0}$ 时值是一样的，为${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）。在复变分析中${\displaystyle x=0}$ 时不连续左极和右极互为相反数^{[函数 3]}，而反余切若是取最小同界角则在${\displaystyle x=0}$ 时连续。

反余切函数的微分导数为^{[注 2]}：

${\displaystyle {\rm {arccot}}'x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\rm {arccot}}''x={\frac {2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}}$ 

${\displaystyle {\rm {arccot}}'''x=-{\frac {8x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}+{\frac {2}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}}$ 

${\displaystyle {\rm {arccot}}''''x={\frac {\;48x^{3}\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{4}\,}}-{\frac {\;24x\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}}$ 

${\displaystyle \cdots }$ 

除了反正切，反余切函数同样可以表示梅钦类公式^[19]：

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\operatorname {arccot} {5}-\operatorname {arccot} {239}}$ 

下面恒等式均适用于函数2（取最小同界角的反余切函数）^{[函数 2]}

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}$ 

${\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}$ 

${\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\ }$  如果 ${\displaystyle \ x>0}$ 

${\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\ }$  如果 ${\displaystyle \ x<0}$ 

和差

${\displaystyle \operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}},x>-y}$ 

${\displaystyle \operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,x<-y}$ 

${\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}}$ 

积分

${\displaystyle \int \operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx=x\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})}$ 

${\displaystyle \int x\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {cx}{2}}}$ 

${\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {cx^{2}}{6}}-{\frac {c^{3}}{6}}\ln(c^{2}+x^{2})}$ 

${\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{c^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq 1}$ 

• 反正切
• 正切
• 余切

1. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[ArcCot[x] == x, {x, 1}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）. 
2. ^ 微分导数在三种定义下皆相同，但第三种定义在0不可微

不同的反余切定义

1. ^ ^{1.0 1.1} 直接对余切函数取反函数 ，是多值函数
2. ^ ^{2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14} 取最小同界角的反余切函数^[1]
3. ^ ^{3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 3.12} 复变反余切函数的实数部^[2]

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Cotangent. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Arccotangent. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Machin-Like Formulas. MathWorld.