有限冲激响应

针对因果（英语：causal filter）离散时间的N阶滤波器，输出序列的每一个值都是最近输入的加权和：

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}}$ 

其中

• ${\textstyle x[n]}$ 是输入信号
• ${\textstyle y[n]}$ 是输出信号
• ${\textstyle N}$ 是滤波器阶数。${\textstyle N}$ ^th阶滤波器表示在右边有${\textstyle N+1}$ 项
• ${\textstyle b_{i}}$ 是${\textstyle N^{\text{th}}}$ 阶FIR滤波器在第i时间（${\textstyle 0\leq i\leq N}$ ）的脉冲响应。若滤波器是直接型的FIR滤波器，则${\textstyle b_{i}}$ 也就是滤波器的系数。

计算也称为离散卷积。

上述项中的${\textstyle x[n-i]}$ 常称为tap（抽头），依数字延迟线（英语：Digital delay line）的结构而定，在许多实现或方块图中，会将延迟输入进行乘法运算。

滤波器的冲激响应定义为有限区间内的非零值。包括零值在内，冲激响应是无限数列：

${\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$ 

若FIR滤波器是非因果的，其冲激响应上的非零值范围可能从${\displaystyle n=0}$ 前就开始。

FIR滤波器相较于IIR滤波器，有以下的优点：

• 不需要反馈，因此舍去误差不会因为连续的加总而累计。每一次的计算其相对误差都是一样的，因此在实现上比较简单。
• 在本质上稳定，因为其输出是有限个输入值乘以有限倍数的和，因此不会大于${\textstyle \sum |b_{i}|}$ 乘以输入的最大值。
• 若让系数对称，可以设计成线性相位（英语：linear phase），这在一些相位很重要的应用（例如资料通讯、地震学或分音器）中是很好的特性。

FIR滤波器的主要缺点是若要求要求低频（相对于采样率）截止频率，在相同的锐利程度或是选择性（英语：selectivity (electronic)）情形下，在通用处理器上的运算量要比IIR滤波器要大。不过目前有许多数字信号处理器提供特别的硬件来使FIR滤波器有类似IIR滤波器一样有效率。

数列${\displaystyle x[n]}$ 的滤波效果可以用卷积定理，在频域上描述：

${\displaystyle \underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}}$      and     ${\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}$ 

其中运算子${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 和${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ 表示离散时间傅里叶变换（DTFT）和其倒数。因此，复数值的乘性函数${\displaystyle H(\omega )}$ 是滤波器的频率响应，可以用以下的傅里叶级数定义：

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}$ 

其中加上下标表示2π周期性。此处的${\displaystyle \omega }$ 是正规单位（英语：Normalized frequency (digital signal processing)）（radians/sample）下的频率。在许多滤波器设计的程式中都较常用${\displaystyle \omega =2\pi f,}$ 的定义，将频率单位${\displaystyle (f)}$ 改为cycles/sample，其周期为1^[A]。当x[n]序数是已知的采样率${\displaystyle f_{s}}$  samples/second，${\displaystyle \omega =2\pi f/f_{s}}$ 的取代会将频率单位${\displaystyle (f)}$ 变为cycles/second（赫兹），周期性是${\displaystyle f_{s}}$ 。${\displaystyle \omega =\pi }$ 的值会对应${\displaystyle f={\tfrac {f_{s}}{2}}}$  Hz ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}}$  cycles/sample的频率，也就是奈奎斯特频率。

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$ 也可以用滤波器冲激响应的离散时间傅里叶变换表示：

${\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}$ 

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).}$ 

在设计有限冲激响应滤波器时，要找到符合特定规格的系数以及阶数，规格可能是时域的（匹配滤波器），也可能是频域的（较常见的情形）。匹配滤波器是将输入信号和已知形状的脉冲进行互相关（cross-correlation）。FIR卷积（FIR convolution）是脉冲响应的逆时间复本（time-reversed copy）和输入信号进行互相关。因此匹配滤波器的脉冲是用针对已知脉冲进行采样，再将采样信号倒序，做为滤波器的系数^[1]。

若希望有特定的频率响应，以下是一些常见的滤波器设计方式：

1. 窗函数设计法
2. 频率采样法
3. 最小MSE（均方差）法
4. 帕克斯-麦克莱伦算法（也称为是等涟波法、最佳法或minimax法）常会用雷米兹算法来找最佳等涟波的系数。使用者会标示想要的频率响应，此响应下误差的加权函数，以及滤波器阶数N。算法会找到可以将最大偏移量降到最低的${\textstyle N+1}$ 个系数。直觉上，这可以找到在只用${\textstyle N+1}$ 下，最符合期望频率响应的滤波器。此方式特别容易实作，因为至少有一本教科书^[2]有包括可以用理想滤波器以及阶数N，得到最佳系数的程式。
5. 等涟波FIR滤波器也可以用DFT算法设计^[3]。此方式在本质上是迭代的，初始滤波器计设计的DFT可以用FFT算法计算（若没有初始估计值，可以用h[n]=delta[n]）。在傅里叶域下，可以依要想的规格调整频率响应，接着计算反DFT。在时域下，只保留前N个系数（其他系数设为0），之后再重复上述的流程：再计算DFT，在频率下调整，再转回时域。

目前已有许多软件可以进行滤波器设计，例如MATLAB、GNU Octave、Scilab和SciPy等。

移动平均滤波器是简单的FIR滤波器，有时会称为Boxcar 函数滤波器（特别在之后有降采样的情形下）。滤波器的系数${\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}$ 可以用以下公式求得：

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}$ 

以下是更具体的例子，选择滤波器的阶数：

${\displaystyle N=2}$ 

其冲激响应如下：

${\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}$ 

右边的方块图是以下要讨论的二阶移动平均滤波器。其递移函数为：

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.}$ 

下一个图是滤波器的极零点图（英语：Pole–zero diagram）。零频率（直流）对应(1, 0)，正频率会绕原点逆时针旋转，直到(−1, 0)的奈奎斯特频率。在原点有二个极点，二个零点在${\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ，${\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ 。

若以正规化频率（英语：Normalized frequency (digital signal processing)）ω表示，频率响应为：

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2cos(\omega )\right).\end{aligned}}}$ 

图上有其振幅和相位的响应，不过此图也可以用冲激响应的离散傅里叶变换得到

因为其对称性，滤波器设计或是显示软件多半只会显示 [0, π]区域。可以看出移动平均滤波器的低频增益接近1，但会衰减高频的信号，因此是简单的低通滤波器。相位图是线性的，但在增益降到零时出现不连续，不连续的大小是π，意思是有变号的情形。最后一张图的振幅允许正负，此时的相位就都是线性的。

• Jian-Jiun Ding (2013), Advanced Digital Signal Processing （页面存档备份，存于互联网档案馆） [viewed 27/06/2013]

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